Линейная независимость собственных векторов

Вторник, 4 февраля 2014 г.
Рубрика: Линейные операторы

П.4. Линейная независимость собственных векторов.

Лемма.

1.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.

2.Пусть ,..,-попарно различные с.ч. л.о. f.,  ,..,- их соответствующие с.в. Тогда система ,..,- л.н.з.

Читать дальше...

Характеристическое уравнение матрицы

Суббота, 1 февраля 2014 г.
Рубрика: Линейные операторы

П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).

đеŧ(А-Е)=0 или А - λЕ =0.

Пусть А=(а),   ()меняются от 1 до п.

А - λЕ   = ===0

h()=(а-)(а-)…(а-)+… + đеŧ(А)=0,    h()-многочлен n-ой степени от .

h()=(-)(-)+ а(-)+…

+ а(-)+…+ đеŧ(А)=0.

h()=(-1) -( а+ а+…+ а)+..+ (-1) đеŧ(А) =0, здесь

( а+ а+…+ а) =trА.

 ()=-(trА)+..+ (1)đеŧ(А)-

характеристический многочлен л.о.А.

В общем случае, trА=.

Теорема.

Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.

Читать дальше...

Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса

Пятница, 31 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений

п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

Читать дальше...

Краткое содержание часть 2

Четверг, 30 января 2014 г.
Рубрика: Выдержки

Конечномерное векторное пространство и существование его базиса, дополнение до базиса, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, действия с векторами в координатной форме, изоморфизм векторного пространства и пространства столбцов, матрица перехода от одного базиса к другому, изменение координат вектора при изменении базиса, свойства матрицы перехода, линейные преобразования ПДСК на плоскости.

Определение векторного подпространства и его необходимое и достаточное условие, примеры векторных подпространств, линейная оболочка системы векторов, сумма и пересечение векторных подпространств и их прямая сумма.

Определение линейного отображения (гомоморфизма) векторных пространств, примеры и их простейшие свойства, ядро и образ линейного отображения, теорема о размерности ядра и образа, матрица линейного отображения и ее изменение при изменении базиса, линейный оператор (эндоморфизм) и его матрица, матрица как форма задания линейного отображения.

Линейные формы, ранг системы векторов, элементарные преобразования векторов системы, ранг матрицы, необходимые и достаточные условия обратимости квадратной матрицы, теорема о ранге матрицы.

Линейное уравнение с несколькими неизвестными, система линейных уравнений с несколькими неизвестными, матрица системы, столбец свободных членов, расширенная матрица системы, столбец неизвестных, матричная и векторная формы записи системы линейных уравнений, решение системы линейных уравнений, однородные и неоднородные системы, классификация систем по множеству решений, теорема Кронекера-Капелли, пространство решений системы и его размерность, структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений, необходимые и достаточные условия определенности совместной системы, необходимое и достаточное условие определенности квадратной системы линейных уравнений, формулы Крамера, понятие линейного многообразия, геометрический смысл множества решений системы линейных уравнений.

Среда, 29 января 2014 г.
Рубрика: Линейные операторы

П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Определение. Пусть f: VV-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой вектор х называется собственным вектором  л.о. f , если  f(х)=λх, где λК-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.

Читать дальше...

Необходимые и достаточные условия определенности неоднородной системы линейных уравнений, квадратной системы линейных уравнений

Суббота, 25 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений

п.7. Линейные (векторные) многообразия.

Пусть – произвольное подпространства пространства  и пусть – произвольный фиксированный вектор пространства  (вообще говоря, , хотя это и не обязательно). Множество векторов вида , где  обозначим через , т.е. .

Читать дальше...

Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений

Четверг, 23 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений

п.6. Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений.

Определение. Пусть – неоднородная система линейных уравнений с матрицей системы А. Система линейных уравнений  называется однородной системой линейных уравнений соответствующей данной неоднородной системе линейных уравнений.

Определение. Произвольное решение неоднородной системы  называют ее частным решением.

Читать дальше...

Доказательство теоремы о ранге матрицы

Среда, 22 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы

п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.

Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.

1) Сначала мы докажем, что  и .

Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через . Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:

, .

Читать дальше...

Свойства самосопряженного линейного оператора

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Эвклидово пространство

п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора

1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.

(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).

2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.

(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)

Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).

Пусть - ортонормированный базис,     – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда

, где  - собственные числа матрицы А.                                                                       

Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Читать дальше...

Ортогональное дополнение к подпространству. Самосопряженные линейные операторы

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Эвклидово пространство

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству  называется множество                 

Упражнение. Докажите, что  является подпространством евклидова пространства.

Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,  - его ортогональное дополнение. Тогда евклидово  пространство  можно представить в виде ортогональной суммы:

Читать дальше...

Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений

п.5. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений  всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение – нулевой столбец неизвестных.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Доказательство. Пусть  – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. Тогда решением системы является столбец неизвестных X, который мы рассматриваем как вектор из пространства столбцов высоты n: , где K– поле коэффициентов системы.

Таким образом, множество решений системы  есть множество столбцов из пространства столбцов , для которых верно матричное равенство .

Читать дальше...

Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк или столбцов

Четверг, 16 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы

п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Читать дальше...