П.4. Линейная независимость собственных векторов.

Лемма.

1.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.

2.Пусть ,..,-попарно различные с.ч. л.о. f.,  ,..,- их соответствующие с.в. Тогда система ,..,- л.н.з.

Читать дальше...

П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).

đеŧ(А-Е)=0 или А - λЕ =0.

Пусть А=(а),   ()меняются от 1 до п.

А - λЕ   = ===0

h()=(а-)(а-)…(а-)+… + đеŧ(А)=0,    h()-многочлен n-ой степени от .

h()=(-)+а(-)+ а(-)+…

+ а(-)+…+ đеŧ(А)=0.

h()=(-1) -( а+ а+…+ а)+..+ (-1) đеŧ(А) =0, здесь

( а+ а+…+ а) =trА.

 ()=-(trА)+..+ (1)đеŧ(А)-

характеристический многочлен л.о.А.

В общем случае, trА=.

Теорема.

Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.

Читать дальше...

п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

Читать дальше...

Конечномерное векторное пространство и существование его базиса, дополнение до базиса, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, действия с векторами в координатной форме, изоморфизм векторного пространства и пространства столбцов, матрица перехода от одного базиса к другому, изменение координат вектора при изменении базиса, свойства матрицы перехода, линейные преобразования ПДСК на плоскости.

Определение векторного подпространства и его необходимое и достаточное условие, примеры векторных подпространств, линейная оболочка системы векторов, сумма и пересечение векторных подпространств и их прямая сумма.

Определение линейного отображения (гомоморфизма) векторных пространств, примеры и их простейшие свойства, ядро и образ линейного отображения, теорема о размерности ядра и образа, матрица линейного отображения и ее изменение при изменении базиса, линейный оператор (эндоморфизм) и его матрица, матрица как форма задания линейного отображения.

Линейные формы, ранг системы векторов, элементарные преобразования векторов системы, ранг матрицы, необходимые и достаточные условия обратимости квадратной матрицы, теорема о ранге матрицы.

Линейное уравнение с несколькими неизвестными, система линейных уравнений с несколькими неизвестными, матрица системы, столбец свободных членов, расширенная матрица системы, столбец неизвестных, матричная и векторная формы записи системы линейных уравнений, решение системы линейных уравнений, однородные и неоднородные системы, классификация систем по множеству решений, теорема Кронекера-Капелли, пространство решений системы и его размерность, структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений, необходимые и достаточные условия определенности совместной системы, необходимое и достаточное условие определенности квадратной системы линейных уравнений, формулы Крамера, понятие линейного многообразия, геометрический смысл множества решений системы линейных уравнений.

П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Определение. Пусть f: VV-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой вектор х называется собственным вектором  л.о. f , если  f(х)=λх, где λК-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.

Читать дальше...

п.7. Линейные (векторные) многообразия.

Пусть – произвольное подпространства пространства  и пусть – произвольный фиксированный вектор пространства  (вообще говоря, , хотя это и не обязательно). Множество векторов вида , где  обозначим через , т.е. .

Читать дальше...

п.6. Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений.

Определение. Пусть – неоднородная система линейных уравнений с матрицей системы А. Система линейных уравнений  называется однородной системой линейных уравнений соответствующей данной неоднородной системе линейных уравнений.

Определение. Произвольное решение неоднородной системы  называют ее частным решением.

Читать дальше...

п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.

Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.

1) Сначала мы докажем, что  и .

Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через . Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:

, .

Читать дальше...

п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора

1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.

(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).

2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.

(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)

Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).

Пусть - ортонормированный базис,     – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда

, где  - собственные числа матрицы А.                                                                       

Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Читать дальше...

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству  называется множество                 

Упражнение. Докажите, что  является подпространством евклидова пространства.

Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,  - его ортогональное дополнение. Тогда евклидово  пространство  можно представить в виде ортогональной суммы:

Читать дальше...

п.5. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений  всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение – нулевой столбец неизвестных.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Доказательство. Пусть  – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. Тогда решением системы является столбец неизвестных X, который мы рассматриваем как вектор из пространства столбцов высоты n: , где K– поле коэффициентов системы.

Таким образом, множество решений системы  есть множество столбцов из пространства столбцов , для которых верно матричное равенство .

Читать дальше...

п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Читать дальше...