п.7 Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

Пусть  - матрица квадратичной формы   относительно старого базиса и нового базиса,  - матрица перехода. Тогда , т.к. матрицы совпадают.

Читать дальше...

п.4 Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть  - старый базис,  - новый базис. Матрица перехода от старого базиса к новому. Пусть  произвольные векторы, - столбцы координат относительно старого и нового базисов. Тогда .

Пусть А – матрица билинейной формы  относительно старого базиса, и , а  - матрица билинейной формы  относительно нового базиса, и .

.

Выражая столбцы координат старого базиса через столбцы координат нового базиса, получаем . Тогда. Но т.к.  - произвольные векторы, а -  произвольные столбцы координат относительно нового базисов,  то получаем  - закон изменения матрицы билинейного пространства при изменении базиса. Таким образом, мы только что теорему.

п.5  Квадратичные формы.

Определение. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем К. Билинейная форма  называется симметрической, если  .

Теорема.

1. Матрица симметрической билинейной формы является симметрической.

2. Между всеми симметрическими билинейными формами и всеми симметрическими матрицами существует взаимнооднозначное соответствие (биекция). .

Доказательство. Необходимость. Пусть - симметрическая билинейная форма, т.е.  . Пусть  - матрица симметрической билинейной формы , т.е. =,  тогда  . Это выполняется тогда, и только тогда, когда . Следовательно, А - симметрическая матрица.

Достаточность. Пусть А - симметрическая матрица, т.е. . Пусть  - соответствующая билинейная форма, А - ее матрица, т.е. , тогда .

: . Теорема доказана.

Определение (с точки зрения геометрии). Отображение  называется квадратичной формой, если существует симметрическая билинейная форма , определенная на пространстве V, такая что . Симметрическая билинейная форма называется полярной к квадратичной форме q.

Выводы из определения. Пусть   - произвольная симметрическая билинейная форма. Положим по определению,  , тогда по определению следует, что  - квадратичная форма.

Пусть дана квадратичная форма , тогда по определению существует симметричная билинейная форма : .

Пусть x, y – произвольные векторы.

тогда .

Таким образом, полярная симметричная билинейная форма восстанавливается однозначно с помощью квадратичной формы, следовательно, между симметричными билинейными формами существует биекция (взаимнооднозначное соответствие).

п.6 Общий вид квадратичной  формы.

Пусть - произвольный базис векторного пространства V. Пусть  - произвольные векторы, - столбцы координат.

Пусть  - симметрическая билинейная система, - квадратичная форма

Тогда   - общий вид квадратичной формы, где - матрица квадратичной формы .

Пример. .

1.       Пусть  ,  .

2.       ,

т.е. . Получаем матрицу

А=.

Определение (квадратичная форма с точки зрения алгебры). Однородный многочлен с n-переменными  второй степени называется квадратичной формой.

 - квадратичная форма от n-переменных.

.

п.1

Определение. V – векторное пространство над полем К. Отображение ,  которое для любой упорядоченной пары  ставит в соответствие скаляр поля К.  называется билинейной формой, если  и выполняются следующие аксиомы:

1.      

2.      

3.      

4.      

Читать дальше...