Билинейные формы
Подписаться на эту рубрику по RSS
Вещественные квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы.
Воскресенье, 5 января 2014 г.Рубрика: Билинейные формы
п.4 Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
Пусть - старый базис,
- новый базис. Матрица перехода от старого базиса к новому
. Пусть
произвольные векторы,
- столбцы координат относительно старого и нового базисов. Тогда
.
Пусть А – матрица билинейной формы относительно старого базиса, и
, а
- матрица билинейной формы
относительно нового базиса, и
.
.
Выражая столбцы координат старого базиса через столбцы координат нового базиса, получаем . Тогда
. Но т.к.
- произвольные векторы, а
- произвольные столбцы координат относительно нового базисов, то получаем
- закон изменения матрицы билинейного пространства при изменении базиса. Таким образом, мы только что теорему.
п.5 Квадратичные формы.
Определение. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем К. Билинейная форма называется симметрической, если
.
Теорема.
1. Матрица симметрической билинейной формы является симметрической.
2. Между всеми симметрическими билинейными формами и всеми симметрическими матрицами существует взаимнооднозначное соответствие (биекция). .
Доказательство. Необходимость. Пусть - симметрическая билинейная форма, т.е.
. Пусть
- матрица симметрической билинейной формы
, т.е.
=
, тогда
. Это выполняется тогда, и только тогда, когда
. Следовательно, А - симметрическая матрица.
Достаточность. Пусть А - симметрическая матрица, т.е. . Пусть
- соответствующая билинейная форма, А - ее матрица, т.е.
, тогда
.
:
. Теорема доказана.
Определение (с точки зрения геометрии). Отображение называется квадратичной формой, если существует симметрическая билинейная форма
, определенная на пространстве V, такая что
. Симметрическая билинейная форма называется полярной к квадратичной форме q.
Выводы из определения. Пусть - произвольная симметрическая билинейная форма. Положим по определению,
, тогда по определению следует, что
- квадратичная форма.
Пусть дана квадратичная форма , тогда по определению существует симметричная билинейная форма
:
.
Пусть x, y – произвольные векторы.
тогда
.
Таким образом, полярная симметричная билинейная форма восстанавливается однозначно с помощью квадратичной формы, следовательно, между симметричными билинейными формами существует биекция (взаимнооднозначное соответствие).
п.6 Общий вид квадратичной формы.
Пусть - произвольный базис векторного пространства V. Пусть
- произвольные векторы,
- столбцы координат.
Пусть - симметрическая билинейная система,
- квадратичная форма
Тогда - общий вид квадратичной формы, где
- матрица квадратичной формы
.
Пример. .
1. Пусть ,
.
2. ,
т.е. . Получаем матрицу
А=.
Определение (квадратичная форма с точки зрения алгебры). Однородный многочлен с n-переменными второй степени называется квадратичной формой.
- квадратичная форма от n-переменных.
.
п.1
Определение. V – векторное пространство над полем К. Отображение , которое для любой упорядоченной пары
ставит в соответствие скаляр поля К.
называется билинейной формой, если
и
выполняются следующие аксиомы:
1.
2.
3.
4.