п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора

1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.

(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).

2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.

(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)

Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).

Пусть - ортонормированный базис,     – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда

, где  - собственные числа матрицы А.                                                                       

Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Читать дальше...

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству  называется множество                 

Упражнение. Докажите, что  является подпространством евклидова пространства.

Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,  - его ортогональное дополнение. Тогда евклидово  пространство  можно представить в виде ортогональной суммы:

Читать дальше...

Теорема. Следующие утверждения равносильны:

1)Система строк матрицы А является ортонормированной;

2)Система столбцов матрицы А является ортонормированной;

3)А-1=Аt

Доказательство.

Докажем равносильность 1-ого и 3-его утверждений.

Пусть {S1,…,Sn} – система строк матрицы А. Тогда {S1t,…,Snt} – система столбцов матрицы Аt.

Скалярное произведение SiSj равно произведению  строки на столбец:

SiSj = SiSj =  (т.к. строки ортонормированны).

Это равносильно тому, что произведение матрицы на транспонированную есть единичная матрица:

ААt =   Аt = А-1.

Теорема доказана.

Читать дальше...

П. 2.  Ортогональные матрицы.

Определение. Невырожденная квадратная матрица называется ортогональной, если обратная   к ней  матрица равна транспонированной.

А – ортогональная матрица  .

Свойства ортогональных матриц.

Читать дальше...

Определение. Скалярным произведением в вещественном векторном пространстве называется любая вещественная симметрическая положительно определенная билинейная форма.

Определение. Вещественное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть V – вещественное векторное пространство:VR

(x, y) (x, y) = x*y

Пусть  {e, …, e} произвольный базис пространства V;  X=, Y= - столбцы координат векторов х, у относительно базиса

{e}

(x, y)==X, где

()=((е,e))=(e), ();

Г – матрица Грама

() - общий вид скалярного произведения.

 - нормальный вид квадратичной формы, где {0,1}

Если квадратичная форма положительно определена, тогда нормальный вид квадратичной формы:

Е=- матрица положительно определенной квадратичной формы нормального вида

Пусть С - невырожденная матрица

Теорема. В евклидовом пространстве существует базис, относительно которого матрица Грама является единичной

Читать дальше...