Эвклидово пространство
Подписаться на эту рубрику по RSS
Свойства самосопряженного линейного оператора
Пятница, 17 января 2014 г.Рубрика: Эвклидово пространство
п. 2. Свойства самосопряженного линейного оператора
1) Собственные числа самосопряженного линейного оператора являются действительными числами.
(Собственные числа вещественно-симметрической матрицы являются действительными числами).
2) Существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора.
(Любая симметрическая матрица является диагонализируемой)
Пусть А – симметрическая матрица(матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса).
Пусть - ортонормированный базис,
– ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Тогда
, где
- собственные числа матрицы А.
Лемма. Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.
Ортогональное дополнение к подпространству. Самосопряженные линейные операторы
Пятница, 17 января 2014 г.Рубрика: Эвклидово пространство
Определение. Ортогональным дополнением к подпространству называется множество
Упражнение. Докажите, что является подпространством евклидова пространства.
Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,
- его ортогональное дополнение. Тогда евклидово пространство
можно представить в виде ортогональной суммы:
Теорема. Следующие утверждения равносильны:
1)Система строк матрицы А является ортонормированной;
2)Система столбцов матрицы А является ортонормированной;
3)А-1=Аt
Доказательство.
Докажем равносильность 1-ого и 3-его утверждений.
Пусть {S1,…,Sn} – система строк матрицы А. Тогда {S1t,…,Snt} – система столбцов матрицы Аt.
Скалярное произведение SiSj равно произведению строки на столбец:
SiSj = Si
Sj =
(т.к. строки ортонормированны).
Это равносильно тому, что произведение матрицы на транспонированную есть единичная матрица:
ААt =
Аt = А-1.
Теорема доказана.
П. 2. Ортогональные матрицы.
Определение. Невырожденная квадратная матрица называется ортогональной, если обратная к ней матрица равна транспонированной.
А – ортогональная матрица
.
Свойства ортогональных матриц.
Определение. Скалярным произведением в вещественном векторном пространстве называется любая вещественная симметрическая положительно определенная билинейная форма.
Определение. Вещественное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Пусть V – вещественное векторное пространство:V
R
(x, y) (x, y) = x*y
Пусть {e, …, e
} произвольный базис пространства V; X=
, Y=
- столбцы координат векторов х, у относительно базиса
{e}
(x, y)=
=X
, где
(
)=(
(е
,e
))=(e
),
(
);
Г – матрица Грама
(
)
- общий вид скалярного произведения.
- нормальный вид квадратичной формы, где
{0,
1}
Если квадратичная форма положительно определена, тогда нормальный вид квадратичной формы:
Е=- матрица положительно определенной квадратичной формы нормального вида
Пусть С - невырожденная матрица
Теорема. В евклидовом пространстве существует базис, относительно которого матрица Грама является единичной