Линейные операторы
Подписаться на эту рубрику по RSS
П.4. Линейная независимость собственных векторов.
Лемма.
1.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.
2.Пусть
,..,
-попарно различные с.ч. л.о. f.,
,..,
- их соответствующие с.в. Тогда система
,..,
- л.н.з.
П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).
đеŧ(А-Е)=0 или
А - λЕ
=0.
Пусть А=(а), (
)меняются от 1 до п.
А - λЕ
= ==
=0
h()=(а
-
)(а
-
)…(а
-
)+… + đеŧ(А)=0, h(
)-многочлен n-ой степени от
.
h()=(-
)
+а
(-
)
+ а
(-
)
+…
+ а(-
)
+…+ đеŧ(А)=0.
h()=(-1)
-( а
+ а
+…+ а
)
+..+ (-1)
đеŧ(А)
=0, здесь
( а+ а
+…+ а
) =trА.
(
)=
-(trА)
+..+ (1)
đеŧ(А)-
характеристический многочлен л.о.А.
В общем случае, trА=.
Теорема.
Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.
П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение. Пусть f: VV-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой
вектор х называется собственным вектором л.о. f , если f(х)=λх, где λ
К-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.