Линейные операторы
Подписаться на эту рубрику по RSS
П.4. Линейная независимость собственных векторов.
Лемма.
1
.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.
2.Пусть 
,..,
-попарно различные с.ч. л.о. f., 
,..,
- их соответствующие с.в. Тогда система 
,..,
- л.н.з.
П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).
đеŧ(А-Е)=0 или 
А - λЕ 
=0.
Пусть А=(а
), (
)меняются от 1 до п.
А - λЕ = ==
=0
h()=(а
-)(а
-)…(а
-)+… + đеŧ(А)=0, h()-многочлен n-ой степени от .
h()=(-)
+а(-)
+ а(-)+…
+ а(-)+…+ đеŧ(А)=0.
h()=(-1)
-( а+ а+…+ а)+..+ (-1) đеŧ(А)
=0, здесь
( а+ а+…+ а) =trА.
()=-(trА)+..+ (1)đеŧ(А)-
характеристический многочлен л.о.А.
В общем случае, trА=
.
Теорема.
Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.
П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение. Пусть f: V
V-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой 
вектор х называется собственным вектором л.о. f , если f(х)=λх, где λ
К-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.