Линейные отображения
Подписаться на эту рубрику по RSS
Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса
Четверг, 16 января 2014 г.Рубрика: Линейные отображения
п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.
Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,
– два базиса пространства
,
,
– два базиса пространства
. Пусть С – матрица перехода от базиса
к базису
,
– матрица перехода от базиса
к базису
.
п.6. Матрица линейного оператора.
Определение. Пусть – линейный оператор (эндоморфизм), действующий на пространстве V над полем K. Пусть
– базис пространства V,
– произвольный вектор,
– его образ в пространстве V. Разложим вектор х по данному базису:
,
где – координаты вектора х относительно базиса
пространства V. Так как f – линейное отображение, то
.
п.5. Матрица линейного отображения.
Пусть – линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K,
– базис пространства V,
– базис пространства W, – произвольный вектор,
– его образ в пространстве W.
Поставим задачу нахождения вектора f(x) для заданного вектора х.
п.4. Ядро и образ линейного отображения.
Определение. Пусть линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:
.
Образом линейного отображения f называют множество:
.
Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.
Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.
Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.
п.3. Простейшие свойства линейных отображений.
Теорема. Пусть линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K.
п.2. Примеры линейных отображений.
Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение
с помощью правила: положим
.
Это отображение называется нулевым отображением.
Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.
Читать дальше...п.1. Линейное отображение векторных пространств.
Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Отображение называется линейным отображением или гомоморфизмом векторного пространства V в векторное пространство W, если оно обладает свойствами:
1) свойство аддитивности: ,
;
2) свойство однородности: ,
.