п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.

Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,  – два базиса пространства , ,  – два базиса пространства . Пусть С – матрица перехода от базиса  к базису , – матрица перехода от базиса  к базису .

Читать дальше...

п.6. Матрица линейного оператора.

Определение. Пусть  – линейный оператор (эндоморфизм), действующий на пространстве V над полем K. Пусть – базис пространства V,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве V. Разложим вектор  х  по данному базису:

,

где  – координаты вектора х относительно базиса  пространства V. Так как f – линейное отображение, то

.

Читать дальше...

п.5. Матрица линейного отображения.

Пусть  – линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K, – базис пространства V,

– базис пространства W,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве W.

Поставим задачу нахождения вектора f(x)  для заданного вектора х.

Читать дальше...

п.4. Ядро и образ линейного отображения.

Определение. Пусть  линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:

.

Образом линейного отображения f называют множество:

.

Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.

Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.

Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.

Читать дальше...

п.3. Простейшие свойства  линейных отображений.

Теорема. Пусть  линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K.

Читать дальше...

п.2. Примеры линейных отображений.

Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение

с помощью правила:  положим .

Это отображение называется нулевым отображением.

Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.

п.1. Линейное отображение векторных пространств.

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Отображение  называется линейным отображением или гомоморфизмом векторного пространства V в векторное пространство W, если оно обладает свойствами:

1) свойство аддитивности:  , ;

2) свойство однородности: , .

Читать дальше...