Матрица перехода и ее свойства
Подписаться на эту рубрику по RSS
Линейные преобразования ПДСК на плоскости
Пятница, 13 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.
Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера 
над полем K. Если для любого столбца 
выполняется равенство 
, тогда 
.
Доказательство. Пусть 
– столбцы матрицы А, 
– столбцы матрицы В, 
– канонический базис пространства столбцов 
.
Изменение координат вектора при изменении базиса
Среда, 11 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Пусть 
, 
– два базиса произвольного векторного пространства V и пусть 
– произвольный вектор. Обозначим через 
и 
– столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.
Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов
Вторник, 10 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы: 
, 
. Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:
. (5)
Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:
Изоморфизм векторных пространств
Воскресенье, 8 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение 
называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства 
в векторное пространство 
, если 
, 
:
1) 
;
2) 
. Читать дальше...
Действия с векторами в координатной форме
Суббота, 7 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Пусть
– базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:
.Существование базиса векторного пространства.
Пятница, 6 ноября 2009 г.Рубрика: Матрица перехода и ее свойства
Определение. Векторное пространство 
называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.
Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.
Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Читать дальше...