п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

Читать дальше...

п.7. Линейные (векторные) многообразия.

Пусть – произвольное подпространства пространства  и пусть – произвольный фиксированный вектор пространства  (вообще говоря, , хотя это и не обязательно). Множество векторов вида , где  обозначим через , т.е. .

Читать дальше...

п.6. Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений.

Определение. Пусть – неоднородная система линейных уравнений с матрицей системы А. Система линейных уравнений  называется однородной системой линейных уравнений соответствующей данной неоднородной системе линейных уравнений.

Определение. Произвольное решение неоднородной системы  называют ее частным решением.

Читать дальше...

п.5. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений  всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение – нулевой столбец неизвестных.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Доказательство. Пусть  – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. Тогда решением системы является столбец неизвестных X, который мы рассматриваем как вектор из пространства столбцов высоты n: , где K– поле коэффициентов системы.

Таким образом, множество решений системы  есть множество столбцов из пространства столбцов , для которых верно матричное равенство .

Читать дальше...

п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.

Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы

.

Читать дальше...

п.2. Способы записи системы линейных уравнений.

Про систему вида (2) говорят, что она записана в развернутом виде. Или говорят, что система записана в скалярной форме.

Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

 или .

Читать дальше...

п.1. Основные определения.

Определение. Уравнение вида

,                           (1)

где – действительные числа,  – переменные (неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.

Определение. Числа  в уравнении (1) называются коэффициентами линейного уравнения, число  в уравнении (1) называется свободным членом линейного уравнения.

Читать дальше...