п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.

Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.

1) Сначала мы докажем, что  и .

Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через . Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:

, .

Читать дальше...

п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).

Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.

Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.

Читать дальше...

п.4. Ранг матрицы.

Пусть А – произвольная матрица размеров  над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е. .

Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы – го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом   строк и столбцов.

Читать дальше...

п.3. Элементарные преобразования системы векторов.

Определение. Следующие преобразования системы векторов  называются элементарными:

1) любая перестановка векторов системы;

2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;

3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;

4) удаление нулевого вектора из системы.

Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.

Читать дальше...

п.2. Ранг системы векторов.

Пусть V – векторное пространство над полем K, – произвольная система векторов пространства V.

Определение. Любое непустое подмножество множества  называют подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть дана система векторов . Тогда , ,  – подсистемы данной системы. Сама система  тоже является подсистемой самой себя.

Читать дальше...

п.1. Линейные формы.

Определение. Линейной формой (линейным функционалом) определенной на векторном пространстве V над полем K называется любое линейное отображение

.

Из определения следует, что отображение f обладает свойствами аддитивности и однородности, т.е.

,  выполняются равенства:

 и .

Читать дальше...