Теорема о ранге матрицы
Подписаться на эту рубрику по RSS
п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.
Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.
1) Сначала мы докажем, что и
.
Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через
. Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:
,
.
Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк или столбцов
Четверг, 16 января 2014 г.Рубрика: Теорема о ранге матрицы
п.5. Вычисление ранга матрицы и нахождение базиса линейной оболочки ее системы строк (столбцов).
Для вычисления ранга матрицы часто применяют метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк матрицы, которые, как мы уже знаем, не изменяют ранга системы строк, а значит не изменяют и ранга матрицы.
Таким образом, ранг данной матрицы равен рангу получившейся после преобразований ступенчатой матрицы. В свою очередь, ранг ступенчатой матрицы легко вычисляется, так как легко увидеть ее максимальный ненулевой минор и его порядок.
п.4. Ранг матрицы.
Пусть А – произвольная матрица размеров над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е.
.
Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы
– го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом
строк и столбцов.
Элементарные преобразования системы векторов
Вторник, 7 января 2014 г.Рубрика: Теорема о ранге матрицы
п.3. Элементарные преобразования системы векторов.
Определение. Следующие преобразования системы векторов называются элементарными:
1) любая перестановка векторов системы;
2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;
3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;
4) удаление нулевого вектора из системы.
Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.
п.2. Ранг системы векторов.
Пусть V – векторное пространство над полем K, – произвольная система векторов пространства V.
Определение. Любое непустое подмножество множества называют подсистемой данной системы векторов.
Пример. Пусть дана система векторов . Тогда
,
,
– подсистемы данной системы. Сама система
тоже является подсистемой самой себя.
п.1. Линейные формы.
Определение. Линейной формой (линейным функционалом) определенной на векторном пространстве V над полем K называется любое линейное отображение
.
Из определения следует, что отображение f обладает свойствами аддитивности и однородности, т.е.
,
выполняются равенства:
и
.