Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса
п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.
Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,
– два базиса пространства
,
,
– два базиса пространства
. Пусть С – матрица перехода от базиса
к базису
,
– матрица перехода от базиса
к базису
.
Подпространства евклидова пространства
Теорема. Следующие утверждения равносильны:
1)Система строк матрицы А является ортонормированной;
2)Система столбцов матрицы А является ортонормированной;
3)А-1=Аt
Доказательство.
Докажем равносильность 1-ого и 3-его утверждений.
Пусть {S1,…,Sn} – система строк матрицы А. Тогда {S1t,…,Snt} – система столбцов матрицы Аt.
Скалярное произведение SiSj равно произведению строки на столбец:
SiSj = Si
Sj =
(т.к. строки ортонормированны).
Это равносильно тому, что произведение матрицы на транспонированную есть единичная матрица:
ААt =
Аt = А-1.
Теорема доказана.
Теорема Кронекер – Капелли. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.
п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.
Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы
.
Матрица линейного оператора
п.6. Матрица линейного оператора.
Определение. Пусть – линейный оператор (эндоморфизм), действующий на пространстве V над полем K. Пусть
– базис пространства V,
– произвольный вектор,
– его образ в пространстве V. Разложим вектор х по данному базису:
,
где – координаты вектора х относительно базиса
пространства V. Так как f – линейное отображение, то
.
Ортогональные матрицы
П. 2. Ортогональные матрицы.
Определение. Невырожденная квадратная матрица называется ортогональной, если обратная к ней матрица равна транспонированной.
А – ортогональная матрица
.
Свойства ортогональных матриц.
Ранг матрицы
п.4. Ранг матрицы.
Пусть А – произвольная матрица размеров над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е.
.
Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы
– го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом
строк и столбцов.
Классификация систем линейных уравнений, способы записи системы линейных уравнений
п.2. Способы записи системы линейных уравнений.
Про систему вида (2) говорят, что она записана в развернутом виде. Или говорят, что система записана в скалярной форме.
Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:
или
.
Прямая сумма векторных подпространств
п.5. Прямая сумма векторных подпространств.
Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства
. Сумма подпространств
называется прямой суммой, если
, существует только одна пара векторов
, такая, что
.
Матрица линейного отображения
п.5. Матрица линейного отображения.
Пусть – линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K,
– базис пространства V,
– базис пространства W, – произвольный вектор,
– его образ в пространстве W.
Поставим задачу нахождения вектора f(x) для заданного вектора х.
Неравенство Коши – Буняковского
Определение. Скалярным произведением в вещественном векторном пространстве называется любая вещественная симметрическая положительно определенная билинейная форма.
Определение. Вещественное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Пусть V – вещественное векторное пространство:V
R
(x, y) (x, y) = x*y
Пусть {e, …, e
} произвольный базис пространства V; X=
, Y=
- столбцы координат векторов х, у относительно базиса
{e}
(x, y)=
=X
, где
(
)=(
(е
,e
))=(e
),
(
);
Г – матрица Грама
(
)
- общий вид скалярного произведения.
- нормальный вид квадратичной формы, где
{0,
1}
Если квадратичная форма положительно определена, тогда нормальный вид квадратичной формы:
Е=- матрица положительно определенной квадратичной формы нормального вида
Пусть С - невырожденная матрица
Теорема. В евклидовом пространстве существует базис, относительно которого матрица Грама является единичной
Элементарные преобразования системы векторов
п.3. Элементарные преобразования системы векторов.
Определение. Следующие преобразования системы векторов называются элементарными:
1) любая перестановка векторов системы;
2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;
3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;
4) удаление нулевого вектора из системы.
Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.
Сумма и пересечение векторных подпространств
п.4. Сумма и пересечение векторных подпространств.
Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства. Суммой
и М называют множество
.
Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.