п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.

Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,  – два базиса пространства , ,  – два базиса пространства . Пусть С – матрица перехода от базиса  к базису , – матрица перехода от базиса  к базису .

Читать дальше...

Теорема. Следующие утверждения равносильны:

1)Система строк матрицы А является ортонормированной;

2)Система столбцов матрицы А является ортонормированной;

3)А-1=Аt

Доказательство.

Докажем равносильность 1-ого и 3-его утверждений.

Пусть {S1,…,Sn} – система строк матрицы А. Тогда {S1t,…,Snt} – система столбцов матрицы Аt.

Скалярное произведение SiSj равно произведению  строки на столбец:

SiSj = SiSj =  (т.к. строки ортонормированны).

Это равносильно тому, что произведение матрицы на транспонированную есть единичная матрица:

ААt =   Аt = А-1.

Теорема доказана.

Читать дальше...

п.4. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.

Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Другими словами, если – система линейных уравнений, то для того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы

.

Читать дальше...

п.6. Матрица линейного оператора.

Определение. Пусть  – линейный оператор (эндоморфизм), действующий на пространстве V над полем K. Пусть – базис пространства V,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве V. Разложим вектор  х  по данному базису:

,

где  – координаты вектора х относительно базиса  пространства V. Так как f – линейное отображение, то

.

Читать дальше...

П. 2.  Ортогональные матрицы.

Определение. Невырожденная квадратная матрица называется ортогональной, если обратная   к ней  матрица равна транспонированной.

А – ортогональная матрица  .

Свойства ортогональных матриц.

Читать дальше...

п.4. Ранг матрицы.

Пусть А – произвольная матрица размеров  над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е. .

Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы – го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом   строк и столбцов.

Читать дальше...

п.2. Способы записи системы линейных уравнений.

Про систему вида (2) говорят, что она записана в развернутом виде. Или говорят, что система записана в скалярной форме.

Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

 или .

Читать дальше...

п.5. Прямая сумма векторных подпространств.

Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Сумма подпространств  называется прямой суммой, если , существует только одна пара векторов , такая, что .

Читать дальше...

п.5. Матрица линейного отображения.

Пусть  – линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K, – базис пространства V,

– базис пространства W,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве W.

Поставим задачу нахождения вектора f(x)  для заданного вектора х.

Читать дальше...

Определение. Скалярным произведением в вещественном векторном пространстве называется любая вещественная симметрическая положительно определенная билинейная форма.

Определение. Вещественное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть V – вещественное векторное пространство:VR

(x, y) (x, y) = x*y

Пусть  {e, …, e} произвольный базис пространства V;  X=, Y= - столбцы координат векторов х, у относительно базиса

{e}

(x, y)==X, где

()=((е,e))=(e), ();

Г – матрица Грама

() - общий вид скалярного произведения.

 - нормальный вид квадратичной формы, где {0,1}

Если квадратичная форма положительно определена, тогда нормальный вид квадратичной формы:

Е=- матрица положительно определенной квадратичной формы нормального вида

Пусть С - невырожденная матрица

Теорема. В евклидовом пространстве существует базис, относительно которого матрица Грама является единичной

Читать дальше...

п.3. Элементарные преобразования системы векторов.

Определение. Следующие преобразования системы векторов  называются элементарными:

1) любая перестановка векторов системы;

2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;

3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;

4) удаление нулевого вектора из системы.

Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.

Читать дальше...

п.4. Сумма и пересечение векторных подпространств.

Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства. Суммой и М называют множество

.

Замечание. Под пересечением векторных подпространств понимают их пересечение как множеств.

Читать дальше...