п.7 Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

Пусть  - матрица квадратичной формы   относительно старого базиса и нового базиса,  - матрица перехода. Тогда , т.к. матрицы совпадают.

Читать дальше...

п.4. Ядро и образ линейного отображения.

Определение. Пусть  линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:

.

Образом линейного отображения f называют множество:

.

Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.

Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.

Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.

Читать дальше...

п.3. Простейшие свойства  линейных отображений.

Теорема. Пусть  линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K.

Читать дальше...

п.2. Ранг системы векторов.

Пусть V – векторное пространство над полем K, – произвольная система векторов пространства V.

Определение. Любое непустое подмножество множества  называют подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть дана система векторов . Тогда , ,  – подсистемы данной системы. Сама система  тоже является подсистемой самой себя.

Читать дальше...

п.3. Размерность векторных подпространств.

Теорема. (О размерности линейной оболочки.)

Пусть V – векторное пространство над полем K и – произвольная система векторов из V. Тогда,

если система векторов  – линейно независимая, то эта система является базисом линейной оболочки  и .

Читать дальше...

п.2. Примеры линейных отображений.

Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение

с помощью правила:  положим .

Это отображение называется нулевым отображением.

Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.

Читать дальше...

п.1. Линейные формы.

Определение. Линейной формой (линейным функционалом) определенной на векторном пространстве V над полем K называется любое линейное отображение

.

Из определения следует, что отображение f обладает свойствами аддитивности и однородности, т.е.

,  выполняются равенства:

 и .

Читать дальше...

п.1. Линейное отображение векторных пространств.

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Отображение  называется линейным отображением или гомоморфизмом векторного пространства V в векторное пространство W, если оно обладает свойствами:

1) свойство аддитивности:  , ;

2) свойство однородности: , .

Читать дальше...

п.2. Примеры векторных подпространств. Линейная оболочка системы векторов.

Пример 1. Пусть - векторное пространство. Тогда  тоже является векторным подпространством.

Пример 2. Пусть - векторное пространство. Тогда  - множество, состоящее из одного нулевого вектора есть векторное подпространство. Оно называется нулевым подпространством.

Пример 3. Пусть  - арифметическое векторное пространство столбцов высоты . Обозначим через

– множество столбцов высоты n и с нулевой последней компонентой. Легко проверяется, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и относительно умножения столбца на скаляр.

Читать дальше...

п.4 Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть  - старый базис,  - новый базис. Матрица перехода от старого базиса к новому. Пусть  произвольные векторы, - столбцы координат относительно старого и нового базисов. Тогда .

Пусть А – матрица билинейной формы  относительно старого базиса, и , а  - матрица билинейной формы  относительно нового базиса, и .

.

Выражая столбцы координат старого базиса через столбцы координат нового базиса, получаем . Тогда. Но т.к.  - произвольные векторы, а -  произвольные столбцы координат относительно нового базисов,  то получаем  - закон изменения матрицы билинейного пространства при изменении базиса. Таким образом, мы только что теорему.

п.5  Квадратичные формы.

Определение. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем К. Билинейная форма  называется симметрической, если  .

Теорема.

1. Матрица симметрической билинейной формы является симметрической.

2. Между всеми симметрическими билинейными формами и всеми симметрическими матрицами существует взаимнооднозначное соответствие (биекция). .

Доказательство. Необходимость. Пусть - симметрическая билинейная форма, т.е.  . Пусть  - матрица симметрической билинейной формы , т.е. =,  тогда  . Это выполняется тогда, и только тогда, когда . Следовательно, А - симметрическая матрица.

Достаточность. Пусть А - симметрическая матрица, т.е. . Пусть  - соответствующая билинейная форма, А - ее матрица, т.е. , тогда .

: . Теорема доказана.

Определение (с точки зрения геометрии). Отображение  называется квадратичной формой, если существует симметрическая билинейная форма , определенная на пространстве V, такая что . Симметрическая билинейная форма называется полярной к квадратичной форме q.

Выводы из определения. Пусть   - произвольная симметрическая билинейная форма. Положим по определению,  , тогда по определению следует, что  - квадратичная форма.

Пусть дана квадратичная форма , тогда по определению существует симметричная билинейная форма : .

Пусть x, y – произвольные векторы.

тогда .

Таким образом, полярная симметричная билинейная форма восстанавливается однозначно с помощью квадратичной формы, следовательно, между симметричными билинейными формами существует биекция (взаимнооднозначное соответствие).

п.6 Общий вид квадратичной  формы.

Пусть - произвольный базис векторного пространства V. Пусть  - произвольные векторы, - столбцы координат.

Пусть  - симметрическая билинейная система, - квадратичная форма

Тогда   - общий вид квадратичной формы, где - матрица квадратичной формы .

Пример. .

1.       Пусть  ,  .

2.       ,

т.е. . Получаем матрицу

А=.

Определение (квадратичная форма с точки зрения алгебры). Однородный многочлен с n-переменными  второй степени называется квадратичной формой.

 - квадратичная форма от n-переменных.

.

п.1. Основные определения.

Определение. Уравнение вида

,                           (1)

где – действительные числа,  – переменные (неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.

Определение. Числа  в уравнении (1) называются коэффициентами линейного уравнения, число  в уравнении (1) называется свободным членом линейного уравнения.

Читать дальше...

п.1. Определение векторного подпространства.

Определение. Любое непустое подмножество L векторного пространства V над полем K, которое само является векторным пространством над тем же самым полем K и относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр, что и в векторном пространстве V, называется векторным подпространством векторного пространства V.

Читать дальше...