Ядро и образ линейного отображения
п.4. Ядро и образ линейного отображения.
Определение. Пусть линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:
.
Образом линейного отображения f называют множество:
.
Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.
Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.
Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.
Простейшие свойства линейных отображений
п.3. Простейшие свойства линейных отображений.
Теорема. Пусть линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K.
Ранг системы векторов
п.2. Ранг системы векторов.
Пусть V – векторное пространство над полем K, – произвольная система векторов пространства V.
Определение. Любое непустое подмножество множества называют подсистемой данной системы векторов.
Пример. Пусть дана система векторов . Тогда
,
,
– подсистемы данной системы. Сама система
тоже является подсистемой самой себя.
Размерность векторных подпространств
п.3. Размерность векторных подпространств.
Теорема. (О размерности линейной оболочки.)
Пусть V – векторное пространство над полем K и – произвольная система векторов из V. Тогда,
если система векторов – линейно независимая, то эта система является базисом линейной оболочки
и
.
Примеры линейных отображений
п.2. Примеры линейных отображений.
Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение
с помощью правила: положим
.
Это отображение называется нулевым отображением.
Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.
Читать дальше...Линейные формы
п.1. Линейные формы.
Определение. Линейной формой (линейным функционалом) определенной на векторном пространстве V над полем K называется любое линейное отображение
.
Из определения следует, что отображение f обладает свойствами аддитивности и однородности, т.е.
,
выполняются равенства:
и
.
Линейное отображение векторных пространств
п.1. Линейное отображение векторных пространств.
Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Отображение называется линейным отображением или гомоморфизмом векторного пространства V в векторное пространство W, если оно обладает свойствами:
1) свойство аддитивности: ,
;
2) свойство однородности: ,
.
Примеры векторных подпространств
п.2. Примеры векторных подпространств. Линейная оболочка системы векторов.
Пример 1. Пусть - векторное пространство. Тогда
тоже является векторным подпространством.
Пример 2. Пусть - векторное пространство. Тогда
- множество, состоящее из одного нулевого вектора есть векторное подпространство. Оно называется нулевым подпространством.
Пример 3. Пусть - арифметическое векторное пространство столбцов высоты
. Обозначим через
– множество столбцов высоты n и с нулевой последней компонентой. Легко проверяется, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и относительно умножения столбца на скаляр.
Общий вид квадратичной формы
п.4 Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
Пусть - старый базис,
- новый базис. Матрица перехода от старого базиса к новому
. Пусть
произвольные векторы,
- столбцы координат относительно старого и нового базисов. Тогда
.
Пусть А – матрица билинейной формы относительно старого базиса, и
, а
- матрица билинейной формы
относительно нового базиса, и
.
.
Выражая столбцы координат старого базиса через столбцы координат нового базиса, получаем . Тогда
. Но т.к.
- произвольные векторы, а
- произвольные столбцы координат относительно нового базисов, то получаем
- закон изменения матрицы билинейного пространства при изменении базиса. Таким образом, мы только что теорему.
п.5 Квадратичные формы.
Определение. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем К. Билинейная форма называется симметрической, если
.
Теорема.
1. Матрица симметрической билинейной формы является симметрической.
2. Между всеми симметрическими билинейными формами и всеми симметрическими матрицами существует взаимнооднозначное соответствие (биекция). .
Доказательство. Необходимость. Пусть - симметрическая билинейная форма, т.е.
. Пусть
- матрица симметрической билинейной формы
, т.е.
=
, тогда
. Это выполняется тогда, и только тогда, когда
. Следовательно, А - симметрическая матрица.
Достаточность. Пусть А - симметрическая матрица, т.е. . Пусть
- соответствующая билинейная форма, А - ее матрица, т.е.
, тогда
.
:
. Теорема доказана.
Определение (с точки зрения геометрии). Отображение называется квадратичной формой, если существует симметрическая билинейная форма
, определенная на пространстве V, такая что
. Симметрическая билинейная форма называется полярной к квадратичной форме q.
Выводы из определения. Пусть - произвольная симметрическая билинейная форма. Положим по определению,
, тогда по определению следует, что
- квадратичная форма.
Пусть дана квадратичная форма , тогда по определению существует симметричная билинейная форма
:
.
Пусть x, y – произвольные векторы.
тогда
.
Таким образом, полярная симметричная билинейная форма восстанавливается однозначно с помощью квадратичной формы, следовательно, между симметричными билинейными формами существует биекция (взаимнооднозначное соответствие).
п.6 Общий вид квадратичной формы.
Пусть - произвольный базис векторного пространства V. Пусть
- произвольные векторы,
- столбцы координат.
Пусть - симметрическая билинейная система,
- квадратичная форма
Тогда - общий вид квадратичной формы, где
- матрица квадратичной формы
.
Пример. .
1. Пусть ,
.
2. ,
т.е. . Получаем матрицу
А=.
Определение (квадратичная форма с точки зрения алгебры). Однородный многочлен с n-переменными второй степени называется квадратичной формой.
- квадратичная форма от n-переменных.
.
Основные определения систем линейных уравнений
п.1. Основные определения.
Определение. Уравнение вида
, (1)
где – действительные числа,
– переменные (неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.
Определение. Числа в уравнении (1) называются коэффициентами линейного уравнения, число
в уравнении (1) называется свободным членом линейного уравнения.
Определение векторного пространства
п.1. Определение векторного подпространства.
Определение. Любое непустое подмножество L векторного пространства V над полем K, которое само является векторным пространством над тем же самым полем K и относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр, что и в векторном пространстве V, называется векторным подпространством векторного пространства V.