ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Матрицы билинейной формы

Четверг, 26 декабря 2013 г.
Рубрика: Билинейные формы

п.1

Определение. V – векторное пространство над полем К. Отображение ,  которое для любой упорядоченной пары  ставит в соответствие скаляр поля К.  называется билинейной формой, если  и выполняются следующие аксиомы:

1.      

2.      

3.      

4.      

Читать дальше...

Линейные преобразования ПДСК на плоскости

Пятница, 13 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.

Читать дальше...

Свойства матрицы перехода

Четверг, 12 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера  над полем K. Если для любого столбца  выполняется равенство , тогда .

Доказательство. Пусть  – столбцы матрицы А,  – столбцы матрицы В,  – канонический базис пространства столбцов .

Читать дальше...

Изменение координат вектора при изменении базиса

Среда, 11 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Пусть ,  – два базиса произвольного векторного пространства V и пусть  – произвольный вектор. Обозначим через  и  – столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.

Читать дальше...

Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов

Вторник, 10 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы:  , . Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:

.                                             (5)

Читать дальше...

Матрица перехода

Понедельник, 9 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Пусть ,  – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

                  Читать дальше...

Изоморфизм векторных пространств

Воскресенье, 8 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение  называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства  в векторное пространство , если  , :

1) ;

2) . Читать дальше...

Действия с векторами в координатной форме

Суббота, 7 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Пусть  – базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор  можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:

.Читать дальше...

Существование базиса векторного пространства.

Пятница, 6 ноября 2009 г.
Рубрика: Матрица перехода и ее свойства

Определение. Векторное пространство  называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Читать дальше...

Размерность векторного пространства.

Четверг, 5 ноября 2009 г.
Рубрика: Базис векторного пространства

Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.

Доказательство. Читать дальше...

Базис векторного пространства

Среда, 4 ноября 2009 г.
Рубрика: Базис векторного пространства

Определение. Система векторов  векторного пространства  над полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если  найдется такой набор скаляров , что . Читать дальше...

Системы столбцов арифметического векторного пространства столбцов

Вторник, 3 ноября 2009 г.
Рубрика: Базис векторного пространства

Теорема.

1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы. Читать дальше...