Матрицы билинейной формы
п.1
Определение. V – векторное пространство над полем К. Отображение 
, которое для любой упорядоченной пары 
ставит в соответствие скаляр поля К. 
называется билинейной формой, если 
и 
выполняются следующие аксиомы:
1. 
2. 
3. 
4. 
Линейные преобразования ПДСК на плоскости
Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.
Свойства матрицы перехода
Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера 
над полем K. Если для любого столбца 
выполняется равенство 
, тогда 
.
Доказательство. Пусть 
– столбцы матрицы А, 
– столбцы матрицы В, 
– канонический базис пространства столбцов 
.
Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть 
, 
– два базиса произвольного векторного пространства V и пусть 
– произвольный вектор. Обозначим через 
и 
– столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.
Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов
Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства . Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы: 
, 
. Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:
. (5)
Матрица перехода
Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:
Изоморфизм векторных пространств
Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение 
называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства 
в векторное пространство 
, если 
, 
:
1) 
;
2) 
. Читать дальше...
Действия с векторами в координатной форме
Пусть
– базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:
.Существование базиса векторного пространства.
Определение. Векторное пространство 
называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.
Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.
Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.) Читать дальше...
Размерность векторного пространства.
Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.
Доказательство. Читать дальше...
Базис векторного пространства
Определение. Система векторов 
векторного пространства 
над полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если 
найдется такой набор скаляров 
, что 
. Читать дальше...
Системы столбцов арифметического векторного пространства столбцов
Теорема.
1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается через другие столбцы данной системы. Читать дальше...