Пусть М – множество из  элементов: .

Определение. Перестановкой множества из n элементов называется любой упорядоченный набор из всех элементов этого множества, среди которых нет одинаковых.

Пример. Упорядоченные наборы: Читать дальше...

Теорема. Любая транспозиция соседних элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство. Пусть дана перестановка , в которой мы выполним транспозицию (i j) и получим перестановку . Читать дальше...

Определение определителя – го порядка.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.Читать дальше...

Теорема. (Правило знаков.)

,                      (2)

где  и суммирование происходит по всем членам определителя.

Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя  нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк образовали начальную перестановку . Читать дальше...

Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.

Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя. Читать дальше...

Определение. Два столбца определителя называются пропорциональными, если один из них можно получить из другого умножением на ненулевой скаляр:

,

где .

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк.Читать дальше...