Теорема . Система ненулевых векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда найдется вектор системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы. Читать дальше...

Следующие теоремы дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Читать дальше...

Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство

.                               (2)

Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор. Читать дальше...

1) Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр. Читать дальше...

Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве  определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком  +  и называть сложением векторов. Пусть также на множестве  определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

. Читать дальше...

п.4. Союзная матрица.

Пусть дана квадратная матрица  – го порядка. Для каждого ее элемента  найдем его алгебраическое дополнение  и составим матрицу

, в которой вместо элемента  стоит его алгебраическое дополнение .Читать дальше...

Теорема. (свойство ортогональности строк и столбцов определителя.)

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения Читать дальше...

п.3. Разложение определителя и свойство ортогональности.

Теорема. (О разложении определителя.)

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

, ;       (1)

или

, .       (2)Читать дальше...

п.2. Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Минором элемента  определителя – го порядка называют определитель – го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием - й строки и – го столбца, на пересечении которых стоит элемент .Читать дальше...

п.1. Вычисление определителей.

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы стоящие выше или ниже главной диагонали равны нулю:

.Читать дальше...

Определение. Два столбца определителя называются пропорциональными, если один из них можно получить из другого умножением на ненулевой скаляр:

,

где .

Аналогично определяется понятие пропорциональных строк.Читать дальше...

Замечание. Последняя теорема устанавливает равноправие строк и столбцов определителя, т.е. любое свойство определителя, которое верно для его строк остается верным и для его столбцов и наоборот.

Действительно, если какое-то свойство верно для строк любого определителя, то оно верно и для строк матрицы А и для строк матрицы , которые являются столбцами матрицы А, т.е это свойство верно и для столбцов любого определителя. Читать дальше...