Теорема. (Правило знаков.)

,                      (2)

где  и суммирование происходит по всем членам определителя.

Доказательство. Для того, чтобы вычислить знак члена определителя  нужно упорядочить сомножители так, чтобы индексы строк образовали начальную перестановку . Читать дальше...

Определение определителя – го порядка.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.Читать дальше...

Теорема. Любая транспозиция соседних элементов перестановки меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство. Пусть дана перестановка , в которой мы выполним транспозицию (i j) и получим перестановку . Читать дальше...

Пусть М – множество из  элементов: .

Определение. Перестановкой множества из n элементов называется любой упорядоченный набор из всех элементов этого множества, среди которых нет одинаковых.

Пример. Упорядоченные наборы: Читать дальше...

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если

.

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка.Читать дальше...

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.Читать дальше...

Определение. Произведением скаляра  на матрицу  называется матрица  тех же размеров, что и матрица А, где элементы  определяются равенством , для всех значений индексов.

Обозначение: .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр. Читать дальше...

Определение. Суммой матриц  и  одинаковой размерности  называется третья матрица  такой же размерности , где ее элементы  определяются равенством  для всех значений индексов.

Обозначение: . Читать дальше...

п.1. Основные определения.

Пусть К – поле. Элементы поля К мы будем называть скалярами. Под полем К можно понимать или поле действительных чисел или поле комплексных чисел.

Определение. Матрицей размера  над полем К называется таблица элементов поля К, имеющую  строк и  столбцов.

Обозначение: Читать дальше...

• перестановки конечного множества, их количество, инверсии, четность перестановки, транспозиция и ее свойства, определитель, член определителя и его знак. Свойства определителя.
• Вычисление определителей, миноры и алгебраические дополнения,

разложение определителя по элементам строки (столбца), свойство ортогональности, формула обратной матрицы.

• Определение векторного пространства, его простейшие свойства, системы

векторов, линейная комбинация системы векторов, тривиальная и

нетривиальная линейная комбинация, линейно зависимые и независимые

системы векторов, условия линейной зависимости или независимости

системы векторов, подсистемы системы векторов, системы столбцов

арифметического векторного пространства.

• критерий линейной зависимости системы ненулевых векторов, подсистемы

системы векторов, порождающая система векторов, минимальная порождающая

система и максимальная линейно независимая система, базис векторного

пространства и 4 его равносильные определения, размерность векторного

пространства.

• Конечномерное векторное пространство и существование его базиса,

дополнение до базиса, разложение вектора по базису, координаты вектора

относительно базиса, действия с векторами в координатной форме,

изоморфизм векторного пространства и пространства столбцов, матрица

перехода от одного базиса к другому, изменение координат вектора при

изменении базиса, свойства матрицы перехода, линейные преобразования

ПДСК на плоскости.