Пусть ,  – два базиса произвольного векторного пространства V и пусть  – произвольный вектор. Обозначим через  и  – столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.

Теорема. .

Доказательство. Все выкладки проведем в матричной форме.

По условию теоремы

или

,                                (7)

где обозначено

– столбец координат вектора х относительно базиса .

Аналогично,

или

,                                 (8)

где обозначено

– столбец координат вектора х относительно базиса .

Подставляя в равенство (8) равенство (4), получаем:

.

Результатом произведения матрицы на столбец есть столбец, и из полученного равенства следует, что столбец  является столбцом координат вектора х относительно базиса . А из равенства (7) следует, что столбец  также является столбцом координат вектора х относительно базиса .

Так как любой вектор имеет относительно фиксированного базиса единственный столбец координат, то эти столбцы равны, т.е.

.

Теорема доказана.