Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Отображение  называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространства  в векторное пространство , если  , :

1) ;

2) .

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем К. Гомоморфизм  называют изоморфизмом векторного пространства  в векторное пространство , если отображение  является биекцией (т.е. взаимно однозначным соответствием).

Определение. Если существует изоморфизм , то векторное пространство  называют изоморфным векторному пространству .

Обозначение: .

Теорема. На множестве векторных пространств над одним и тем же полем K отношение изоморфизма является отношением эквивалентности, т.е. это отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности:

1) свойство рефлексивности:  – любое векторное пространство  изоморфно самому себе;

2) свойство симметричности: ;

3) свойство транзитивности: .

Следствие. Если V – векторное пространство над полем K и , то векторное пространство V изоморфно арифметическому векторному пространству столбцов высоты n: .

Доказательство. Отображение , определенное правилом  ,

,

где Х – столбец координат вектора х относительно фиксированного базиса  векторного пространства V над полем K, является:

1) гомоморфизмом векторных пространств, т.е.

,  верны равенства

 и ;

2) биекцией.

Отсюда по определению изоморфизма векторных пространств следует, что , ч.т.д.

Следствие доказано.

Отсюда и из следствия легко получить следующий результат.

Теорема. Два конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Доказательство предоставляется читателю.

Отсюда, в частности, следует, что в одном классе эквивалентности оказываются те и только те векторные пространства, которые имеют одинаковую размерность.

Последнее следствие очень важно с практической точки зрения. Какова бы ни была природа векторов конечномерного векторного пространства: направленные отрезки, многочлены, функции, матрицы или что-либо другое, мы можем заменить изучаемое векторное пространство на изоморфное ему пространство столбцов соответствующей высоты и работать со скалярами, т.е. с числами.

Другими словами, говоря современным языком, мы производим оцифровку векторного пространства, т.е. элемент векторного пространства, вектор х, мы отождествляем с упорядоченным набором чисел, а действия с векторами, их сложение и умножение на скаляр, производим с помощью сложения и умножения чисел, что позволяет нам подключать компьютер при работе с любым конечномерным векторным пространством.

]]> ]]>