Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве  определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком  +  и называть сложением векторов. Пусть также на множестве  определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

;

.

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется векторным пространством над полем К, если выполняются следующие аксиомы:

1. Сложение ассоциативно, т.е.

.

2. Существует нулевой вектор, т.е.

.

3. Для любого вектора существует противоположный ему:

.

Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается  –х, так что

.

4. Сложение коммутативно, т.е. .

5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.

,

где произведение  есть произведение скаляров, определенное в поле К.

6. ,  где 1 - это единица поля К.

7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:

.

8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров:   .

Определение. Векторное пространство  над полем вещественных чисел  называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3.  или .

4. .

Доказательство. 1) Единственность нулевого вектора доказывается также, как единственность единичной матриц и, вообще, как единственность нейтрального элемента любой внутренней бинарной алгебраической операции.

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть  – еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае , а во втором – . Тогда  и , откуда следует, что , ч.т.д.

2а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

.

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует

.

2б) Теперь докажем утверждение 4). Пусть  – произвольный вектор. Тогда

.

Отсюда сразу же следует, что вектор  является противоположным вектору х.

2в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства,  и  получаем:

.

2г) Пусть  и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство  слева на : , откуда следует  или  или .

Теорема доказана.