Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера  над полем K. Если для любого столбца  выполняется равенство , тогда .

Доказательство. Пусть  – столбцы матрицы А,  – столбцы матрицы В,  – канонический базис пространства столбцов .

Подставляем в равенство  вместо столбца Х столбцы канонического базиса. Получаем  равенство . Легко проверить, что , верны равенства  и . Отсюда, , , а значит и , ч.т.д.

Лемма доказана.

Теорема. Пусть , ,  – три базиса произвольного векторного пространства . Тогда

.                               (9)

Доказательство. Пусть  – произвольный вектор, ,  и  –столбцы его координат относительно базисов , ,  соответственно. Тогда по теореме предыдущего параграфа, справедливы равенства:

, , .

Подставляя второе из этих равенств в первое, получаем:

,

откуда следует, что

.

Так как мы взяли произвольный вектор , то столбец его координат  может быть любым столбцом из пространства столбцов . Применяя лемму, получаем равенство

.

Теорема доказана.

Следствие. Матрица перехода является обратимой.

Доказательство. Пусть ,  – произвольные базисы векторного пространства V. По формуле (9) находим:

,

где вместо базиса  мы взяли базис . Легко видеть из определения матрицы перехода, что матрица перехода от базиса  к этому же базису  является единичной, т.е.

 и мы имеем:

.

Аналогично получаем

.

Отсюда следует, что , а , ч.т.д.

Следствие доказано.