Линейная Алгебра

П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Определение. Пусть f: VV-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой вектор х называется собственным вектором  л.о. f , если  f(х)=λх, где λК-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.

В частности для матриц :

А:    К К

ХАХ ,

где А-матрица, линейный  оператор в каноническом базисе.

А=САС - закон изменения л.о. А при изменении базиса, где С - матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда возникает вопрос: существует ли базис, в котором  А была бы диагональной?

Теорема.(первый и достаточный признак диагонализируемости л.о.)

Л.о. f-диагонализируемый, базис из собственных векторов этого л.о. f.

Доказательство.

Пусть f-диагонализируемый, базис

u..u, относительно которого матрица л.о. имеет диагональный вид

(f(u),.. f(u))=( u..u)А= =(u..u)()= ( u.. u)

f(u)= u, u- собственный вектор, u..u-базис из собственных векторов л.о.  f.

Обратно:

пусть u..u-базис из собственных векторов л.о.  f,  f(u)=u по определению собственного вектора,

(f(u),.. f(u))=( u.. u)==     =(u..u)(), А=()-диагональная, т.е.          f - диагонализируемый л.о.

Теорема доказана.

Теорема.

Пусть А:     К К- линейное отображение, задаваемое матрицей А.

ХАХ.

Следующие утверждения равносильны.

1. λК - собственное число л.о.А.

2.Кеŕ(А-Е)0.

3. đеŧ(А-Е)=0.

Доказательство.

Доказательство будем проводить в следующем порядке: 12 3 1.

1 2.

Пусть -собственное число л.о.А,  ненулевой ХК:АХ=λХ АХ - λХ=0, т.к.ЕХ=Х, то АХ - λЕХ=0 , (А - λЕ)Х=0,

Х Кеŕ(А-Е), но  т.к. Х0,  Кеŕ(А-Е)- ненулевое подпространство.

Побочный результат:

Пусть -собственное число матрицы А, тогда все собственные векторы, соответствующие этому с.ч., являются  решениями системы линейных уравнений

(А - λЕ)Х=0.

Обозначение: V= Кеŕ(А-Е)-собственное подпространство, соответствующее с.ч. .

Базис V:u, u,.. u.

V= u, u,.. u- базис собственного подпространства, или базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (А - λЕ)Х=0.

2 3.

Пусть V= Кеŕ( А - λЕ)0  Х0,  Х К: (А - λЕ)Х=0  АХ=λХ Х-с.в.

(А - λЕ)Х=0-эта квадратная однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение đеŧ(А-Е)=0.

3 1.

Пусть đеŧ(А-Е)=0,  однородная система линейных уравнений (А - λЕ)Х=0 имеет ненулевое решение Х 0  АХ=λХ Х-с.в., -с.ч.

Теорема доказана.