П.1.Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение. Пусть f: VV-линейный оператор, действующий в векторном пространстве V над полем К. Ненулевой
вектор х называется собственным вектором л.о. f , если f(х)=λх, где λ
К-скаляр, называемый собственным значением(собственным числом) л.о. f , соответствующим собственному вектору х.
В частности для матриц :
А: К К
ХАХ ,
где А-матрица, линейный оператор в каноническом базисе.
А=С
АС - закон изменения л.о. А при изменении базиса, где С - матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда возникает вопрос: существует ли базис, в котором А
была бы диагональной?
Теорема.(первый и достаточный признак диагонализируемости л.о.)
Л.о. f-диагонализируемый, базис из собственных векторов этого л.о. f.
Доказательство.
Пусть f-диагонализируемый, базис
u
..u
, относительно которого матрица л.о. имеет диагональный вид
(f(u),.. f(u
))=( u
..u
)А= =(u
..u
)(
)= (
u
..
u
)
f(u)=
u
,
u
- собственный вектор,
u
..u
-базис из собственных векторов л.о. f.
Обратно:
пусть u
..u
-базис из собственных векторов л.о. f,
f(u
)=
u
по определению собственного вектора,
(f(u
),.. f(u
))=(
u
..
u
)== =(u
..u
)(
),
А=(
)-диагональная, т.е. f - диагонализируемый л.о.
Теорема доказана.
Теорема.
Пусть А: К К
- линейное отображение, задаваемое матрицей А.
ХАХ.
Следующие утверждения равносильны.
1. λ
К - собственное число л.о.А.
2.Кеŕ(А-
Е)
0.
3. đеŧ(А-
Е)=0.
Доказательство.
Доказательство будем проводить в следующем порядке: 12
3
1
.
1 2
.
Пусть -собственное число л.о.А,
ненулевой Х
К
:АХ=λХ
АХ - λХ=0, т.к.ЕХ=Х, то АХ - λЕХ=0 , (А - λЕ)Х=0,
Х
Кеŕ(А-
Е), но т.к. Х
0,
Кеŕ(А-
Е)- ненулевое подпространство.
Побочный результат:
Пусть -собственное число матрицы А, тогда все собственные векторы, соответствующие этому с.ч., являются решениями системы линейных уравнений
(А - λЕ)Х=0.
Обозначение: V= Кеŕ(А-
Е)-собственное подпространство, соответствующее с.ч.
.
Базис V:
u
, u
,.. u
.
V=
u
, u
,.. u
- базис собственного подпространства, или базис пространства решений однородной системы линейных уравнений (А - λЕ)Х=0.
2
3
.
Пусть V= Кеŕ( А - λЕ)
0
Х
0, Х
К
: (А - λЕ)Х=0
АХ=λХ
Х-с.в.
(А - λЕ)Х=0-эта квадратная однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение đеŧ(А-
Е)=0.
3 1
.
Пусть đеŧ(А-Е)=0,
однородная система линейных уравнений (А - λЕ)Х=0 имеет ненулевое решение Х
0
АХ=λХ
Х-с.в.,
-с.ч.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!