Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса

Пятница, 31 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 14326
Подписаться на комментарии по RSS

п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

5. Определяем, какие переменные системы будут независимыми, а какие зависимыми:

а) те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор объявляем независимыми, их оставляем в левых частях уравнений системы;

б) оставшиеся переменные объявляем зависимыми, их переносим в правую часть уравнений. Зависимых переменных должно быть  штук.

6. Обозначаем зависимые переменные буквами греческого алфавита: , если их не очень много; или буквой с индексами, например: .

7. Придавая зависимым переменным какие-нибудь числовые значения, находим частное решение данной системы X*.

8. Обнуляем столбец свободных членов в системе и, двигаясь от последнего уравнения системы к первому (снизу вверх), выражаем независимые переменные системы через зависимые.

9. Записываем общее решение соответствующей однородной системы.

10. Записываем общее решение данной неоднородной системы.

11. Выписываем полученную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

12. Записываем множество решений данной неоднородной системы в виде суммы линейной оболочки, натянутой на фундаментальную систему решений и частного решения Х*.

13. Записываем ответ (из пункта 10 и 12).

Пример 1. Решить систему: .

Решение.

1) Выписываем расширенную матрицу системы :

.

2) Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:

а) умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй строке, затем  умножаем первую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

;

б) умножаем вторую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

.

3) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

 – базисный минор матрицы системы;

 – базисный минор расширенной матрицы системы.

Мы видим, что , . Так как , то данная система является несовместной, т.е. не имеет решений.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему: .

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

В результате получили квадратную систему

с определителем системы . Следовательно, система имеет единственное решение:

.

Ответ: .

Пример 3. Решить систему: .

1) Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

2) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

 – базисный минор матрицы системы и он же базисный минор расширенной матрицы системы,  . Следовательно, полученная система , которая равносильна данной, имеет решения, т.е. является совместной.

3) Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы: . Следовательно, из трех неизвестных системы, два неизвестных  и  объявляем независимыми, а неизвестное  объявляем зависимым.

4) Обозначаем зависимую неизвестную  и переносим его в правую часть уравнения:

.

5) Полагаем , получаем частное решение системы:

.

6) Обнуляем столбец свободных членов системы и получаем соответствующую однородную систему:

.

7) Выписываем общее решение соответствующей однородной системы:

.

8) Выписываем решение неоднородной системы:

.

9) Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного столбца:

.

10) Множество решений данной системы:

.

Ответ: общее решение системы: , ;

множество решений системы: .

Пример 4. Решить систему: .

Решение. Расширенная матрица системы:

.

Коэффициент при , равный 1, можно принять за базисный минор, так что .

Соответствующая однородная система имеет вид:

,

размерность пространства ее решений:

.

Обозначим – три свободные переменные. Систему можно записать так:

.

Полагая , получаем частное решение данной системы:  или

.

Соответствующая однородная система имеет вид:

.

Тогда ее общее решение имеет вид:

,

где .

Общее решение данной неоднородной системы:

,

где .

Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы:

.

Множество решений данной системы:

или .

Ответ: общее решение системы

,

где ;  множество решений системы:

.

п.11. Формулы Крамера.

Теорема. Пусть  квадратная система линейных уравнений и . Тогда единственное решение системы можно найти по формулам:

, ,

где  – определитель матрицы системы,  – столбцы матрицы системы,

 – определитель системы, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов В. Эти формулы называются формулами Крамера.

Доказательство. Так как , то матрица А – обратимая и из равенства  получаем:

,

откуда и следуют формулы Крамера. Проработка деталей оставляется читателю.

Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!