Определение. Система векторов  векторного пространства  над полем К называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если  найдется такой набор скаляров , что .

Определение. Система векторов векторного пространства называется минимальной порождающей системой, если при удалении из этой системы любого вектора она перестает быть порождающей системой.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если порождающая система векторов не является минимальной, то найдется хотя бы один вектор системы, при удалении которого из системы, оставшаяся система векторов по прежнему будет порождающей.

Лемма (О линейно зависимой порождающей системе.)

Если в линейно зависимой и порождающей системе векторов один из векторов линейно выражается через другие, то его можно удалить из системы и оставшаяся система векторов будет порождающей.

Доказательство. Пусть система  линейно зависимая и порождающая, и пусть один из ее векторов линейно выражается через другие векторы этой системы.

Для определенности и для простоты записи допустим, что

.

Так как  –  порождающая система, то  найдется такой набор скаляров , что

.

Отсюда получаем,

,

т.е. любой вектор х линейно выражается через векторы системы , а это означает, что она является порождающей системой, ч.т.д.

Следствие 1. Линейно зависимая и порождающая система векторов не является минимальной.

Доказательство. Сразу же следует из леммы и определения минимальной порождающей системы векторов.

Следствие 2. Минимальная порождающая система векторов является линейно независимой.

Доказательство. Допустив противное, приходим к противоречию со следствием 1.

Определение. Система векторов векторного пространства называется максимальной линейно независимой системой, если при добавлении к этой системы любого вектора она становится линейно зависимой.

Замечание. Из определения сразу же следует, что если система является линейно независимой, но не максимальной, то найдется вектор, при добавлении которого к системе, получается линейно независимая система.

Определение. Базисом векторного пространства V над полем K называется упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор векторного пространства единственным способом.

Иначе говоря, система векторов  векторного пространства V над полем K называется его базисом, если  существует единственный набор скаляров , такой, что .

Теорема. (О четырех равносильных определениях базиса.)

Пусть  – упорядоченная система векторов векторного пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:

1. Система  является базисом.

2. Система  является линейно независимой и порождающей системой векторов.

3. Система  является максимальной линейно независимой системой векторов.

4. Система  является минимальной порождающей системой векторов.

Доказательство.

. Пусть система векторов  является базисом. Из определения базиса сразу же следует, что эта система векторов является порождающей системой векторов векторного пространства, поэтому нам нужно только доказать ее линейную независимость.

Допустим, что данная система векторов линейно зависимая. Тогда существует два представления нулевого вектора – тривиальное и нетривиальное, что противоречит определению базиса.

. Пусть система векторов  является линейно независимой и порождающей. Нам нужно доказать, что данная линейно независимая система является максимальной.

Допустим противное. Пусть данная линейно независимая система векторов не является максимальной. Тогда, в силу замечания выше, найдется вектор, который можно будет добавить к этой системе и полученная система векторов остается линейно независимой. Однако, с другой стороны, добавленный к системе вектор может быть представлен в виде линейной комбинации исходной системы векторов в силу того, что она является порождающей системой.

И мы получаем, что в новой, расширенной, системе векторов один из ее векторов линейно выражается через другие вектора этой системы. Такая система векторов является линейно зависимой. Получили противоречие.

. Пусть система векторов  векторного пространства  является максимальной линейно независимой. Докажем, что она является минимальной порождающей системой.

а) Сначала докажем, что она является порождающей системой.

Заметим, что в силу линейной независимости, система  не содержит нулевого вектора. Пусть  – произвольный ненулевой вектор. Добавим его к данной системе векторов: . Получившаяся система ненулевых векторов является линейно зависимой, т.к. исходная система векторов максимальная линейно независимая. Значит, в этой системе, найдется вектор линейно выражающийся через предыдущие. В исходной линейно независимой системе  ни один из векторов не может выражаться через предыдущие, следовательно, линейно выражается через предыдущие только вектор х. Таким образом, система  представляет любой ненулевой вектор. Осталось заметить, что данная система, очевидно, представляет и нулевой вектор, т.е. система  является порождающей.

б) Теперь докажем ее минимальность. Допустим противное. Тогда один из векторов системы может быть удален из системы и оставшаяся система векторов по прежнему будет порождающей системой и, следовательно, удаленный из системы вектор тоже линейно выражается через оставшиеся вектора системы, что противоречит линейной независимости исходной системы векторов.

. Пусть система векторов  векторного пространства  является минимальной порождающей системой. Тогда она представляет любой вектор векторного пространства. Нам нужно доказать единственность представления.

Допустим противное. Пусть какой-нибудь вектор х линейно выражается через векторы данной системы двумя различными способами:

  и .

Вычитая из одного равенства другое, получаем:

.

В силу следствия 2, система  является  линейно независимой, т.е. представляет нулевой вектор только тривмально, поэтому все коэффициенты этой линейной комбинации должны быть равны нулю:

.

Таким образом, любой вектор х линейно выражается через векторы данной системы единственным способом, ч.т.д.

Теорема доказана.