Пусть  – базис векторного пространства V над полем K и – произвольный вектор векторного пространства V. Из определения базиса следует, что любой вектор  можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:

.                           (1)

Определение. Равенство (1) называется разложением вектора х по базису . Коэффициенты линейной комбинации (1):  называются координатами вектора х относительно базиса .

Теорема. Пусть   – базис векторного пространства V над полем K. Отображение

,

которое каждому вектору  ставит в соответствие упорядоченный набор  его координат относительно данного базиса является биекцией, т.е. взаимно однозначным соответствием.

Доказательство. Для каждого вектора векторного пространства V существует единственный набор его координат, поэтому соответствие  является, по определению, отображением.

Докажем, что отображение  является сюръекцией. Пусть  – произвольный набор скаляров. Тогда положим, по определению,

.

Так как V – векторное пространство над полем K, то произведение базисных векторов на скаляры поля K  являются векторами векторного пространства V:

, .

Сумма векторов векторного пространства V также является его вектором, т.е.

.

Таким образом, для любого упорядоченного набора из n скаляров поля K существует вектор , для которого этот набор скаляров является его координатами относительно данного базиса, т.е.

,

ч.т.д.

Докажем, что отображение  является инъекцией.

Пусть,  – два произвольных вектора векторного пространства и . Мы хотим доказать, что . Допустим противное, что различным векторам отображение  ставит в соответствие один и тот же набор скаляров:

.

Из определения отображения  следует, что этот набор скаляров является координатами как вектора х, так и вектора у относительно базиса , т.е.

 и , откуда следует, что . Получили противоречие, следовательно, различные векторы имеют различные координаты и , ч.т.д.

Таким образом, отображение  является инъекцией и сюръекцией, т.е. биекцией, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем, координаты вектора х будем записывать столбцом и обозначать:

.

В соответствии с обозначениями предыдущей теоремы, будем писать:

.

В этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть относительно фиксированного базиса  векторного пространства V над полем K

, , где  – произвольные векторы, и пусть – произвольный скаляр. Тогда справедливы равенства:

1)  или

;

2)  или

.

Другими словами, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении скаляра на вектор его координаты умножаются на этот скаляр.

Доказательство. Пусть

, .

Складывая вектора х и у, и умножая вектор х на скаляр , получаем:

,

.

Отсюда,

, , ч.т.д.

Теорема доказана.