п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.

Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.

1) Сначала мы докажем, что  и .

Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через . Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:

, .

Обозначим через  – столбцы минора . Так как , то по лемме 1 система  – линейно независимая. Отсюда сразу же следует, что система первых r столбцов матрицы А:  тоже линейно независимая. Действительно, если она представляет нулевой вектор нетривиально:

, где  и набор коэффициентов , то это же равенство верно и для укороченных столбцов:

, где , т.е. система  представляет нулевой вектор нетривиально, что противоречит ее линейной независимости.

Из линейной независимости системы  следует, что ранг системы столбцов матрицы А, , ч.т.д.

Аналогично доказывается неравенство .

2) Теперь докажем обратные неравенства:  и , откуда и будет следовать теорема. Докажем неравенство . Заметим, что если , то по доказанному в первой части, , но из определения ранга системы векторов следует, что  и неравенство доказано.

Пусть  и пусть для удобства записи  – максимальная линейно независимая подсистема строк матрицы А. Обозначим

 и  – столбцы матрицы В.

Дальнейшее доказательство разбивается на 2 шага.

а) Обозначим через L линейную оболочку натянутую на столбцы матрицы В:  и докажем, что

.

Действительно, т.к.  – столбцы высоты t, то .

Допустим теперь, что . По лемме 2 существует ненулевая линейная форма , такая, что , т.е. , . Значит, , . Пусть  – матрица линейной формы , то , , откуда . Отсюда получаем, что .

С другой стороны,

и мы получили линейную комбинацию строк матрицы В равную нулю: .

По условию, система  – линейно независимая и, следовательно, может представлять нулевой вектор только тривиально, т.е.  и матрица – нулевая. А это означает, что  – нулевая форма. Получили противоречие. Следовательно, , ч.т.д.

б) Из доказанного следует, что

и существует t линейно независимых столбцов матрицы В. Пусть для определенности, система  – линейно независимая. Тогда минор t-го порядка

,

откуда следует, что , ч.т.д. Рассматривая матрицу , аналогично доказываем неравенство .

Теорема доказана.