Доказательство теоремы о ранге матрицы
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 11825
Подписаться на комментарии по RSS
п.6. Доказательство теоремы о ранге матрицы.
Итак, в обозначениях, принятых в п.3, нам нужно доказать, что , где r – ранг матрицы А, s – ранг системы строк матрицы А, t – ранг системы столбцов матрицы А.
1) Сначала мы докажем, что и
.
Так как , то существует ненулевой минор r-го порядка матрицы А. Обозначим его через
. Пусть, для удобства записи, он расположен в верхнем левом углу матрицы А:
,
.
Обозначим через – столбцы минора
. Так как
, то по лемме 1 система
– линейно независимая. Отсюда сразу же следует, что система первых r столбцов матрицы А:
тоже линейно независимая. Действительно, если она представляет нулевой вектор нетривиально:
, где
и набор коэффициентов
, то это же равенство верно и для укороченных столбцов:
, где
, т.е. система
представляет нулевой вектор нетривиально, что противоречит ее линейной независимости.
Из линейной независимости системы следует, что ранг системы столбцов матрицы А,
, ч.т.д.
Аналогично доказывается неравенство .
2) Теперь докажем обратные неравенства: и
, откуда и будет следовать теорема. Докажем неравенство
. Заметим, что если
, то по доказанному в первой части,
, но из определения ранга системы векторов следует, что
и неравенство доказано.
Пусть и пусть для удобства записи
– максимальная линейно независимая подсистема строк матрицы А. Обозначим
и
– столбцы матрицы В.
Дальнейшее доказательство разбивается на 2 шага.
а) Обозначим через L линейную оболочку натянутую на столбцы матрицы В: и докажем, что
.
Действительно, т.к. – столбцы высоты t, то
.
Допустим теперь, что . По лемме 2 существует ненулевая линейная форма
, такая, что
, т.е.
,
. Значит,
,
. Пусть
– матрица линейной формы
, то
,
, откуда
. Отсюда получаем, что
.
С другой стороны,
и мы получили линейную комбинацию строк матрицы В равную нулю: .
По условию, система – линейно независимая и, следовательно, может представлять нулевой вектор только тривиально, т.е.
и матрица
– нулевая. А это означает, что
– нулевая форма. Получили противоречие. Следовательно,
, ч.т.д.
б) Из доказанного следует, что
и существует t линейно независимых столбцов матрицы В. Пусть для определенности, система – линейно независимая. Тогда минор t-го порядка
,
откуда следует, что , ч.т.д. Рассматривая матрицу
, аналогично доказываем неравенство
.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!