Элементарные преобразования системы векторов
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 8040
Подписаться на комментарии по RSS
п.3. Элементарные преобразования системы векторов.
Определение. Следующие преобразования системы векторов называются элементарными:
1) любая перестановка векторов системы;
2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;
3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;
4) удаление нулевого вектора из системы.
Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.
Доказательство.
1) Пусть дана система векторов и
– ее некоторая максимальная линейно независимая подсистема, т.е. базис линейной оболочки
. Пусть
– любая перестановка данной системы векторов и
– ее произвольная максимальная линейно независимая подсистема. Но эта подсистема будет и подсистемой системы
, т.е. также будет базисом линейной оболочки
. Отсюда следует, что
, ч.т.д.
2) Пусть дана система векторов . Умножим, для определенности вектор
на скаляр
и получим систему
. Легко видеть, что
.
Действительно,
,
откуда следует, что и
.
Обратно, пусть . Тогда,
, т.е.
, откуда следует, что
.
Из этого равенства следует, что равны их размерности
.
Применяя теорему о ранге системы векторов, получаем, что , ч.т.д.
3) Пусть дана система векторов . Для определенности, прибавим к первому вектору системы произвольную линейную комбинацию других векторов этой системы и получим новую систему векторов:
. Как и в предыдущем пункте доказательство легко показать, что
.
Действительно, пусть
. Тогда,
, т.е.
.
Обратно, пусть
. Тогда,
, ч.т.д.
4) Пусть дана система векторов . Очевидно, что
, откуда,
и
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Эта теорема широко используется при вычислении ранга системы строк или столбцов пространства .
Оставьте комментарий!