п.3. Элементарные преобразования системы векторов.

Определение. Следующие преобразования системы векторов  называются элементарными:

1) любая перестановка векторов системы;

2) умножение любого вектора системы на ненулевой скаляр;

3) прибавление к любому вектору системы любой линейной комбинации любых других векторов системы;

4) удаление нулевого вектора из системы.

Теорема. Элементарные преобразования системы векторов не изменяют ее ранга.

Доказательство.

1) Пусть дана система векторов  и  – ее некоторая максимальная линейно независимая подсистема, т.е. базис линейной оболочки . Пусть  – любая перестановка данной системы векторов и  – ее произвольная максимальная линейно независимая подсистема. Но эта подсистема будет и подсистемой системы , т.е. также будет базисом линейной оболочки . Отсюда следует, что , ч.т.д.

2) Пусть дана система векторов . Умножим, для определенности вектор  на скаляр  и получим систему . Легко видеть, что

.

Действительно,

,

откуда следует, что  и .

Обратно, пусть . Тогда,

, т.е.

, откуда следует, что

.

Из этого равенства следует, что равны их размерности

.

Применяя теорему о ранге системы векторов, получаем, что , ч.т.д.

3) Пусть дана система векторов . Для определенности, прибавим к первому вектору системы произвольную линейную комбинацию других векторов этой системы и получим новую систему векторов:

. Как и в предыдущем пункте доказательство легко показать, что

.

Действительно, пусть

. Тогда,

, т.е.

.

Обратно, пусть

. Тогда,

, ч.т.д.

4) Пусть дана система векторов . Очевидно, что , откуда,  и

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Эта теорема широко используется при вычислении ранга системы строк или столбцов пространства .