П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).

đеŧ(А-Е)=0 или А - λЕ =0.

Пусть А=(а),   ()меняются от 1 до п.

А - λЕ   = ===0

h()=(а-)(а-)…(а-)+… + đеŧ(А)=0,    h()-многочлен n-ой степени от .

h()=(-)+а(-)+ а(-)+…

+ а(-)+…+ đеŧ(А)=0.

h()=(-1) -( а+ а+…+ а)+..+ (-1) đеŧ(А) =0, здесь

( а+ а+…+ а) =trА.

 ()=-(trА)+..+ (1)đеŧ(А)-

характеристический многочлен л.о.А.

В общем случае, trА=.

Теорема.

Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.

Доказательство.

Пусть   А- матрица л.о. в другом базисе.

А=САС

đеŧ(А-Е)= đеŧ(САС-СЕС)= đеŧ(С( А - λЕ)С)= đеŧС đеŧ(А- λЕ) đеŧС = đеŧ(А - λЕ).

Определение.

Квадратная матрица А  называется  подобной матрице В того же порядка, если существует невырожденная квадратная матрица С того же порядка, такая, что А=СВС.

Теорема.

Отношение  подобия матриц n-го порядка есть отношение эквивалентности.

П.3.Свойства характеристического многочлена матрицы А n-го порядка.

1.deg()= n

Степень характеристического уравнения равна порядку матрицы.

2.Все корни характеристического многочлена являются собственными числами матрицы А. Верно и обратное утверждение :все с.ч.  матрицы А являются корнями характеристического многочлена.

3.Все коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами л.о.А. (Т.е. подобные матрицы имеют одинаковые

характеристические многочлены.)

Замечание:

Пусть К=С, где К-поле скаляров, а С - поле комплексных чисел.

 ()=(-)(-)..(-),

- корни характеристического уравнения, где  меняется от 1 до n.

()=0.

Определение.

Корень  многочлена  называется корнем кратности m, если  в разложении многочлена  на линейные множители,  линейный двучлен (-) встречается ровно m раз.

Если m>1, то -кратный корень

m =1,то -простой корень.