Характеристическое уравнение матрицы
Рубрика: Линейные операторы
Просмотров: 10347
Подписаться на комментарии по RSS
П.2.Характеристическое уравнение матрицы (или вековое уравнение).
đеŧ(А-Е)=0 или
А - λЕ
=0.
Пусть А=(а), (
)меняются от 1 до п.
А - λЕ
= ==
=0
h()=(а
-
)(а
-
)…(а
-
)+… + đеŧ(А)=0, h(
)-многочлен n-ой степени от
.
h()=(-
)
+а
(-
)
+ а
(-
)
+…
+ а(-
)
+…+ đеŧ(А)=0.
h()=(-1)
-( а
+ а
+…+ а
)
+..+ (-1)
đеŧ(А)
=0, здесь
( а+ а
+…+ а
) =trА.
(
)=
-(trА)
+..+ (1)
đеŧ(А)-
характеристический многочлен л.о.А.
В общем случае, trА=.
Теорема.
Характеристический многочлен л.о. является его инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса.
Доказательство.
Пусть А- матрица л.о. в другом базисе.
А=С
АС
đеŧ(А-
Е)= đеŧ(С
АС-
С
ЕС)= đеŧ(С
( А - λЕ)С)= đеŧС
đеŧ(А- λЕ) đеŧС = đеŧ(А - λЕ).
Определение.
Квадратная матрица А называется подобной матрице В того же порядка, если существует невырожденная квадратная матрица С того же порядка, такая, что А=СВС.
Теорема.
Отношение подобия матриц n-го порядка есть отношение эквивалентности.
П.3.Свойства характеристического многочлена матрицы А n-го порядка.
1.deg(
)= n
Степень характеристического уравнения равна порядку матрицы.
2.Все корни характеристического многочлена являются собственными числами матрицы А. Верно и обратное утверждение :все с.ч. матрицы А являются корнями характеристического многочлена.
3.Все коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами л.о.А. (Т.е. подобные матрицы имеют одинаковые
характеристические многочлены.)
Замечание:
Пусть К=С, где К-поле скаляров, а С - поле комплексных чисел.
(
)=(
-
)(
-
)..(
-
),
- корни характеристического уравнения, где
меняется от 1 до n.
(
)=0.
Определение.
Корень многочлена называется корнем кратности m, если в разложении многочлена на линейные множители, линейный двучлен (
-
) встречается ровно m раз.
Если m>1, то -кратный корень
m =1,то -простой корень.
Оставьте комментарий!