Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса
Рубрика: Линейные отображения
Просмотров: 7464
Подписаться на комментарии по RSS
п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.
Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,
– два базиса пространства
,
,
– два базиса пространства
. Пусть С – матрица перехода от базиса
к базису
,
– матрица перехода от базиса
к базису
.
Пусть А – матрица линейного отображения , относительно базисов
и
,
– матрица этого же линейного отображения
относительно базисов
и
.
Тогда справедлива следующая формула:
. (11)
Доказательство. Пусть – произвольный вектор векторного пространства V,
– его образ. Обозначим:
– столбцы координат вектора х относительно базисов
и
пространства V соответственно,
– столбцы координат вектора у относительно базисов
и
пространства W соответственно. Тогда по теореме п.5:
,
.
Координаты вектора в старом и новом базисах связаны соотношениями:
,
.
Откуда получаем:
.
Сравнивая с равенством , получаем:
.
В силу произвольности вектора х столбец его координат может быть любым. Отсюда, в силу доказанной ранее леммы, следует равенство (11).
Теорема доказана.
Следствие. Пусть – векторное пространство над полем К,
,
– два базиса пространства
, С – матрица перехода от базиса
к базису
, А – матрица линейного оператора
, относительно базиса
,
– матрица этого же линейного оператора относительно базиса
. Тогда справедлива следующая формула:
.
Доказательство следует из только что доказанной теоремы. Полагаем ,
,
базисы:
,
,
тогда матрицы перехода С и D от старого базиса к новому
равны:
. Подставляя в (11) получаем доказываемое равенство.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!