п.7. Изменение матрицы линейного отображения и линейного оператора при изменении базиса.

Теорема. Пусть V, W – векторные пространства над полем K, ,  – два базиса пространства , ,  – два базиса пространства . Пусть С – матрица перехода от базиса  к базису , – матрица перехода от базиса  к базису .

Пусть А – матрица линейного отображения , относительно базисов  и ,  – матрица этого же линейного отображения  относительно базисов  и .

Тогда справедлива следующая формула:

.                                       (11)

Доказательство. Пусть  – произвольный вектор векторного пространства V,  – его образ. Обозначим:

 – столбцы координат вектора х относительно базисов  и  пространства V соответственно,  – столбцы координат вектора у относительно базисов  и  пространства W соответственно. Тогда по теореме п.5:

, .

Координаты вектора в старом и новом базисах связаны соотношениями:

, .

Откуда получаем:

.

Сравнивая с равенством , получаем:

.

В силу произвольности вектора х столбец его координат  может быть любым. Отсюда, в силу доказанной ранее леммы, следует равенство (11).

Теорема доказана.

Следствие. Пусть  – векторное пространство над полем К, ,  – два базиса пространства , С – матрица перехода от базиса  к базису , А – матрица линейного оператора  , относительно базиса  ,  – матрица этого же линейного оператора относительно базиса . Тогда справедлива следующая формула:

.

Доказательство следует из только что доказанной теоремы. Полагаем , ,

базисы:

, ,

тогда матрицы перехода С и D от старого базиса  к новому  равны: . Подставляя в (11) получаем доказываемое равенство.

Теорема доказана.