п.4. Ядро и образ линейного отображения.

Определение. Пусть  линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:

.

Образом линейного отображения f называют множество:

.

Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.

Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.

Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.

Пример 1. Так как нулевое отображение  все векторы пространства  отображает в нулевой вектор пространства , то из определения ядра и образа линейного отображения сразу же следует, что  и .

Пример 2. Пусть : , . Тогда, очевидно, .

Пример 3. Пусть : , , где А – матрица размера  над полем . Тогда,

– множество решений однородной системы из  линейных уравнений с  неизвестными, где А – матрица коэффициентов системы;

.

Изучим это множество подробнее. Обозначим через – столбцы матрицы А,  – столбец неизвестных. Тогда произведение матрицы А на столбец Х можно представить в виде: – линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы А.

Следовательно, образ этого линейного отображения есть линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы А:

.

Замечание. Обычно линейное отображение  обозначают не буквой , а той же буквой, что и матрицу, с помощью которой определяется это отображение:

, где ,

т.е. это отображение, которое каждому столбцу  ставит в соответствие столбец , так что

.

Обычно столбец  обозначают буквой , т.е. . И вместо того, чтобы говорить о ядре и образе линейного отображения , говорят: ядро матрицы А, образ матрицы А, молчаливо подразумевая под этим ядро и образ соответствующего линейного отображения.

Таким образом, в этих обозначениях

, .

Пример 4. Пусть  – естественный гомоморфизм. Очевидно, что его ядро нулевое, т.е. состоит из одного нулевого вектора, а образ этого отображения совпадает с пространством столбцов :

.

Пример 5. Легко видеть, что , .

Теорема. Пусть  линейное отображение векторных пространств. Тогда ядро линейного отображения  является векторным подпространством пространства , а образ  – векторным подпространством пространства .

Доказательство. 1) Пусть , . Тогда . Но f  – гомоморфизм, поэтому,

,

.

2) . Так как f – гомоморфизм, то

,

, .

Теорема доказана.

Теорема (О размерности ядра и образа линейного отображения.)  Пусть  линейное отображение векторных пространств. Тогда

.

Доказательство. Пусть  и  – базис ядра. Так как  – подпространство пространства V, то дополним базис ядра до базиса пространства V. Пусть  – базис пространства V и

.

Докажем, что  – базис , откуда сразу же будет следовать теорема.

Докажем, что  является порождающей системой подпространства . Пусть  – произвольный вектор подпространства . Тогда . Разложим вектор х по базису  пространства V:

,

где . Отсюда,

, ч.т.д.

Здесь, мы воспользовались свойством линейности гомоморфизма f и тем, что , откуда

.

Докажем, что  является линейно независимой системой. Пусть

.

По свойствам линейности,

.

Разложим вектор v по базису ядра: , откуда получаем равенство:

.

Так как  – базис пространства V, то все коэффициенты в этой линейной комбинации равны нулю, т.е. система  может представлять нулевой вектор только тривиально и она является линейно независимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Теорема. Гомоморфизм  векторных пространств является изоморфизмом тогда и только тогда, когда

 и .