Ядро и образ линейного отображения
Рубрика: Линейные отображения
Просмотров: 21059
Подписаться на комментарии по RSS
п.4. Ядро и образ линейного отображения.
Определение. Пусть линейное отображение векторных пространств. Ядром линейного отображения f называется множество:
.
Образом линейного отображения f называют множество:
.
Другими словами, ядро линейного отображения состоит из векторов пространства V, которые отображаются в нулевой вектор пространства W, а образ линейного отображения это просто множество значений функции f.
Если f – линейный оператор, то говорят об ядре и образе линейного оператора.
Найдем ядро и образ линейных отображений, рассмотренных в примерах пункта 2.
Пример 1. Так как нулевое отображение все векторы пространства
отображает в нулевой вектор пространства
, то из определения ядра и образа линейного отображения сразу же следует, что
и
.
Пример 2. Пусть :
,
. Тогда, очевидно,
.
Пример 3. Пусть :
,
, где А – матрица размера
над полем
. Тогда,
– множество решений однородной системы из линейных уравнений с
неизвестными, где А – матрица коэффициентов системы;
.
Изучим это множество подробнее. Обозначим через – столбцы матрицы А,
– столбец неизвестных. Тогда произведение матрицы А на столбец Х можно представить в виде:
– линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы А.
Следовательно, образ этого линейного отображения есть линейная оболочка, натянутая на столбцы матрицы А:
.
Замечание. Обычно линейное отображение обозначают не буквой
, а той же буквой, что и матрицу, с помощью которой определяется это отображение:
, где
,
т.е. это отображение, которое каждому столбцу ставит в соответствие столбец
, так что
.
Обычно столбец обозначают буквой
, т.е.
. И вместо того, чтобы говорить о ядре и образе линейного отображения
, говорят: ядро матрицы А, образ матрицы А, молчаливо подразумевая под этим ядро и образ соответствующего линейного отображения.
Таким образом, в этих обозначениях
,
.
Пример 4. Пусть – естественный гомоморфизм. Очевидно, что его ядро нулевое, т.е. состоит из одного нулевого вектора, а образ этого отображения совпадает с пространством столбцов
:
.
Пример 5. Легко видеть, что ,
.
Теорема. Пусть линейное отображение векторных пространств. Тогда ядро линейного отображения
является векторным подпространством пространства
, а образ
– векторным подпространством пространства
.
Доказательство. 1) Пусть ,
. Тогда
. Но f – гомоморфизм, поэтому,
,
.
2) . Так как f – гомоморфизм, то
,
,
.
Теорема доказана.
Теорема (О размерности ядра и образа линейного отображения.) Пусть линейное отображение векторных пространств. Тогда
.
Доказательство. Пусть и
– базис ядра. Так как
– подпространство пространства V, то дополним базис ядра до базиса пространства V. Пусть
– базис пространства V и
.
Докажем, что – базис
, откуда сразу же будет следовать теорема.
Докажем, что является порождающей системой подпространства
. Пусть
– произвольный вектор подпространства
. Тогда
. Разложим вектор х по базису
пространства V:
,
где . Отсюда,
, ч.т.д.
Здесь, мы воспользовались свойством линейности гомоморфизма f и тем, что , откуда
.
Докажем, что является линейно независимой системой. Пусть
.
По свойствам линейности,
.
Разложим вектор v по базису ядра: , откуда получаем равенство:
.
Так как – базис пространства V, то все коэффициенты в этой линейной комбинации равны нулю, т.е. система
может представлять нулевой вектор только тривиально и она является линейно независимой, ч.т.д.
Теорема доказана.
Теорема. Гомоморфизм векторных пространств является изоморфизмом тогда и только тогда, когда
и
.
Оставьте комментарий!