Теорема . Система ненулевых векторов линейно зависимая тогда и только тогда, когда найдется вектор системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы.

Доказательство. Пусть система  состоит из ненулевых векторов и линейно зависимая. Рассмотрим систему  из одного вектора: . Т.к. , то система  - линейно независимая. Присоединим к ней вектор . Если полученная система  линейно независимая, то присоединим к ней следующий вектор: . И т.д. продолжаем до тех пор, пока не получим линейно зависимую систему , где . Такой номер  обязательно найдется, т.к. исходная система  является линейно зависимой по условию.

Итак, по построению, получили линейно зависимую систему , причем, система  является линейно независимой.

Система  представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. найдется такой ненулевой набор скаляров , что

,

где скаляр .

Действительно, в противном случае, если , то мы имели бы нетривиальное представление нулевого вектора линейно независимой системой , что невозможно.

Разделив последнее равенство на ненулевой скаляр , мы можем выразить из него вектор :

,

ч.т.д.

Так как обратное утверждение очевидно, то теорема доказана.