Линейная независимость собственных векторов
Рубрика: Линейные операторы
Просмотров: 20696
Подписаться на комментарии по RSS
П.4. Линейная независимость собственных векторов.
Лемма.
1.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.
2.Пусть
,..,
-попарно различные с.ч. л.о. f.,
,..,
- их соответствующие с.в. Тогда система
,..,
- л.н.з.
Доказательство.
1.Пусть
- два с.ч. , которые имеют один с.в.
0. Тогда по определению с.ч.
f()=
, f(
)=
. Вычитая из первого уравнения второе, получаем:
0=(-
)
0,
=
, что противоречит поставленному условию.
Т.о. два различных с.ч. не могут иметь один и тот же с.в.
2. Это утверждение докажем методом математической индукции.
1.База индукции.
-с.ч.,
-с.в.,
-л.н.з.
2.Индукционная гипотеза.
Пусть ,..
- с.ч.,
,..,
- с.в.
,..,
-л.н.з.
3.Индукционный переход.
Пусть ,..,
-с.ч.
,..,
,
-система из с.в.
Согласно гипотезе, ,..,
-л.н.з.,
может быть выражен через остальные векторы системы:
=
+..+
.
По определению f()=
, с другой стороны, f(
)=f(
+..+
)=
f(
)+..+
f(
)=
+..+
.
Т.о. =
+..+
=
+..+
,
Вычитая из первого равенства второе, получаем:
0=(-
)
+..+(
-
)
.
,..,
-л.н.з.,
,..,
=0
=0,что противоречит определению с.в.
,..
-все с.ч. матрицы А как л.о. Тогда V(
)=< u
,.., u
>,.., V(
)=<u
,..>.
u
,..
-л.н.з. система из с.в. матрицы А.
Теорема доказана.
Теорема.(Достаточный признак диагонализируемости л.о.)
Если все с.ч. л.о. различны, то этот л.о.-диагонализируемый.
Оставьте комментарий!