П.4. Линейная независимость собственных векторов.

Лемма.

1.Различным собственным числам соответствуют различные собственные векторы.

2.Пусть ,..,-попарно различные с.ч. л.о. f.,  ,..,- их соответствующие с.в. Тогда система ,..,- л.н.з.

Доказательство.

1.Пусть - два с.ч. , которые имеют один с.в. 0. Тогда по определению с.ч.

f()=,  f()=. Вычитая из первого уравнения  второе, получаем:

0=(-)0, =, что противоречит поставленному условию.

Т.о. два различных с.ч. не могут иметь один и тот же с.в.

2. Это утверждение докажем методом математической индукции.

1.База индукции.

-с.ч., -с.в., -л.н.з.

2.Индукционная гипотеза.

Пусть ,..- с.ч., ,..,- с.в.

,..,-л.н.з.

3.Индукционный переход.

Пусть ,..,-с.ч.

,..,,-система из с.в.

Согласно гипотезе, ,..,-л.н.з.,  может быть выражен через остальные векторы системы: =+..+.

По определению f()=,  с другой стороны,  f()=f(+..+)=f()+..+f()=+..+.

Т.о. =+..+

=+..+,

Вычитая из первого равенства второе, получаем:

0=(-)+..+(-).

,..,-л.н.з., ,..,=0=0,что противоречит определению с.в.

,..-все с.ч. матрицы А как л.о.  Тогда V()=< u,.., u>,.., V()=<u,..>. u,..-л.н.з. система из с.в. матрицы А.

Теорема доказана.

Теорема.(Достаточный признак диагонализируемости  л.о.)

Если все с.ч. л.о. различны, то этот л.о.-диагонализируемый.