п.1. Линейное отображение векторных пространств.

Определение. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Отображение  называется линейным отображением или гомоморфизмом векторного пространства V в векторное пространство W, если оно обладает свойствами:

1) свойство аддитивности:  , ;

2) свойство однородности: , .

Если, кроме этого, гомоморфизм f является биекцией, то он называется изоморфизмом векторных пространств V и W.

Определение. Если существует изоморфизм , то векторные пространства V и W называются изоморфными.

Обозначение изоморфных векторных пространств:

.

Теорема. Отношение изоморфизма на множестве всех векторных пространств над полем K является отношением эквивалентности.

Обозначение.

Пусть V и W – произвольные фиксированные векторные пространства над полем K.

Множество всех линейных отображений (гомоморфизмов) из пространства V в пространство W обозначается  или просто .

Определение. Линейное отображение из векторного пространства V в себя:  называется линейным оператором или эндоморфизмом векторного пространства V. Биективный эндоморфизм называется автоморфизмом векторного пространства V.

Обозначение.

Множество всех линейных операторов (эндоморфизмов) векторного пространства V над полем K обозначается  или . Множество всех автоморфизмов векторного пространства V обозначается .

Говорят также, что линейный оператор действует на векторном пространстве V.