Линейные формы » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

Линейные формы

Вторник, 31 декабря 2013 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 4601
Подписаться на комментарии по RSS

п.1. Линейные формы.

Определение. Линейной формой (линейным функционалом) определенной на векторном пространстве V над полем K называется любое линейное отображение

.

Из определения следует, что отображение f обладает свойствами аддитивности и однородности, т.е.

,  выполняются равенства:

 и .

Замечание. Любое поле K само является векторным пространством над полем K, т.е. над самим собой. Его можно рассматривать как пространство столбцов высоты один. Тогда линейная форма  есть линейное отображение векторных пространств или гомоморфизм. Можно применить общую теорию линейных отображений векторных пространств для этого частного случая и получить отсюда все нужные результаты. Но мы поступим иначе.

Теорема. (Общий вид линейной формы.)

Любая линейная форма  относительно произвольного базиса  векторного пространства V над полем K имеет вид:

,                                   (1)

где  – произвольный вектор,  – координаты вектора х относительно данного базиса, , .

Доказательство. Пусть х – произвольный вектор. Разложим вектор х по базису :

. Тогда в силу линейности отображения f имеем:

.

Обозначая , , получаем равенство (1), ч.т.д.

Теорема доказана.

Теорема. Отображение , определенное равенством (1) является линейной формой.

Доказательство. Выберем и зафиксируем в пространстве V произвольный базис . Пусть  – координаты вектора х относительно данного базиса. Выберем произвольным образом набор скаляров  и положим по определению:

, .                              (2)

Тем самым мы определили отображение . Докажем, что отображение f является линейным.

1) Пусть  – произвольные векторы, – произвольный скаляр. Пусть

, . Тогда ,

 и

,

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Так как координаты базисного вектора  в базисе  есть набор скаляров (0, 0, …, 1, …0), где единственная единица стоит на k-м месте, то из равенства (2) следует, что .

Определение. Равенство

                           (3)

называется общим видом линейной формы от n переменных  над полем K. Скаляры  называются коэффициентами этой линейной формы.

Замечание. Равенство (3) определяет линейное отображение  из пространства столбцов высоты n в поле К, т.е. определяет линейную форму на пространстве .

Определение. Набор скаляров  образует матрицу – строку длины n. Эта матрица

называется матрицей линейной формы.

Если неизвестные линейной формы записать в виде столбца:

,

тогда общий вид линейной формы можно записать в матричном виде:

.

Следствие. Пусть V – произвольное векторное пространство размерности n, в котором выбран и зафиксирован какой-нибудь базис. Тогда между всеми линейными формами, определенными на пространстве V и всеми строками  длины n с элементами из поля K, существует взаимно однозначное соответствие.

Другими словами, любая строка длины n определяет на любом векторном пространстве размерности n линейную форму, матрицей которой она и является (относительно выбранного базиса).

Пример. Рассмотрим отображение , определенное правилом. Каждому столбцу из пространства  поставим в соответствие его последнюю координату:

.

или иначе,

.

Очевидно, что это отображение является линейным и задается матрицей

и .

Замечание. Если взять поле R и столбцы высоты 3, то это отображение можно интерпретировать как проекцию вектора  на ось аппликат Оz:

. Таким образом, проекции вектора как направленного отрезка на координатные оси есть примеры линейных форм, определенных на пространстве векторов как направленных отрезков.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!