Пусть дана координатная плоскость Oxyz. Рассмотрим поворот осей координат вокруг начала координат на некоторый угол.

рис.1

Рассмотрим на плоскости две ПДСК: Оху и . Векторы  и  образуют два ортонормированных базиса векторного пространства векторов данной плоскости. Разложим векторы нового базиса  по старому базису .

Координаты любого вектора  относительно ортонормированного базиса  совпадают с его декартовыми координатами, т.е. с его проекциями на координатные оси.

, ,

, ,

,

.

Из определения матрицы перехода следует, что матрица

есть матрица перехода от базиса  к базису .

Теперь мы легко находим связь между координатами одной и той же точки плоскости в этих двух координатных системах.

Пусть дана произвольная точка М и (х, у) – ее координаты в системе координат Оху,  – ее координаты в системе координат . Тогда

 – разложение радиус-вектора точки М по старому базису, а  – по новому базису,

 – столбец координат радиус-вектора  относительно старого базиса,  – относительно нового базиса и

,

или

.

Находя матрицу  находим

.