п.6. Матрица линейного оператора.

Определение. Пусть  – линейный оператор (эндоморфизм), действующий на пространстве V над полем K. Пусть – базис пространства V,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве V. Разложим вектор  х  по данному базису:

,

где  – координаты вектора х относительно базиса  пространства V. Так как f – линейное отображение, то

.

Разложим образы базисных векторов , , по базису  пространства V :

.                   (8)

Определение. Матрица

,

называется матрицей линейного оператора  относительно базиса  пространства V.

Равенства (8) в матричной форме:

.               (9)

Аналогично предыдущей доказывается теорема.

Теорема. Пусть  – линейный оператор, А – его матрица относительно какого-нибудь базиса  пространства V. Пусть

 – координаты вектора ,  – координаты вектора . Тогда

.                                      (10)