Матрица линейного отображения

Среда, 8 января 2014 г.
Рубрика: Линейные отображения
Просмотров: 3805
Подписаться на комментарии по RSS

п.5. Матрица линейного отображения.

Пусть  – линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство W над полем K, базис пространства V,

– базис пространства W,  – произвольный вектор,  – его образ в пространстве W.

Поставим задачу нахождения вектора f(x)  для заданного вектора х.

Разложим вектор  х  по данному базису:

.

Здесь  – координаты вектора  х  относительно базиса  пространства V. Так как f – линейное отображение, то

.                    (1)

Из этого равенства мы видим, что если мы знаем образы базисных векторов , то тем самым мы найдем образ f(x) любого вектора х из пространства V.

Разложим образы базисных векторов ,  по базису  пространства W:

                                   (2)

Определение. Матрица

,

взятая из равенств (2), называется матрицей линейного отображения   относительно базисов  и  пространств V и W соответственно.

Замечание. Равенства (2) удобно записывать в матричной форме:

             (3)

Здесь, при умножении строки  на матрицу А по правилам умножения матриц, получаем строку длины n, так что равенство (3) есть равенство двух строк одинаковой длины, которое мы рассматриваем как равенство матриц. Две строки равной длины равны, если равны ее соответствующие компоненты. Приравнивая соответствующие компоненты, получаем равенства (2).

Обозначение. Удобно снабжать матрицу линейного отображения двумя нижними индексами: .

Теперь равенство (3) можно записать в виде:

.          (4)

Равенство (1) тоже можно записать в матричной форме:

                     (5)

Теперь, подставим равенства (2) в равенство (1). Но выполним эту подстановку в матричной форме, т.е. подставим равенство (4) в равенство (5):

                           (6)

Обозначим . Тогда,

,

где – координаты вектора  относительно базиса .

Таким образом, мы выполнили поставленную задачу нахождения координат вектора  и тем самым доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть  – линейное отображение векторных пространств,  и  – базисы  и  соответственно.

Пусть  – координаты вектора ,  – координаты вектора . Тогда

,                                   (7)

где А – матрица данного линейного отображения.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!