Пусть ,  – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

                          (2)

(Обратите внимание на нумерацию коэффициентов!)

Каждое равенство в (2) можно записать в матричной форме, если мы формально воспользуемся правилом умножения строки на столбец. Пусть  – строка длины , элементами которой являются векторы старого базиса. Аналогично,  – вектор–строка нового базиса. Будем рассматривать эти строки как матрицы соответствующих размеров и производить с ними действия как с числовыми матрицами. (Такие действия можно обосновать.) Тогда, ,

.

Если мы обозначим столбец координат вектора  через :

,

то последнее равенство можно записать в виде:

,

а всю систему равенств (2) – в виде:

,

где

.

Таким образом, равенства (2) в матричной форме записи имеют вид:

.         (3)

Такая форма записи позволяет значительно облегчить выкладки.

Определение. Матрица

называется матрицей перехода от старого базиса  к новому базису .

Матрицу перехода от базиса  к базису  мы обозначать буквой С или  или .

В этих обозначениях равенство (3) принимает вид:

                         (4)