п.1

Определение. V – векторное пространство над полем К. Отображение ,  которое для любой упорядоченной пары  ставит в соответствие скаляр поля К.  называется билинейной формой, если  и выполняются следующие аксиомы:

1.      

2.      

3.      

4.      

Пример. 1. V – вещественное векторное пространство, тогда - билинейная форма.

2. V – вещественное векторное пространство столбцов высоты n.    

п.2 Матрицы билинейной формы.

Пусть - базис векторного пространства V. Пусть  произвольный  вектор.  - столбец координат вектора х.

Пусть  произвольный вектор.  - столбец координат вектора у.

Таким образом,  - общий вид билинейной формы.

Обозначим . Тогда .

Матрица  называется матрицей билинейной формы.

п.3 Матричный вид билинейной формы.

 - транспонированный столбец координат вектора х.

 - столбец координат вектора у.

.

Получаем  - матричный вид билинейной формы.

Теорема. Между всеми билинейными формами, определенными на векторном пространстве V над полем К размерности n, и всеми квадратными матрицами n-ого порядка над полем К существует взаимнооднозначное соответствие (биекция), т.е. .

Доказательство. Пусть выбран и зафиксирован базис . Поставим в соответствие каждой билинейной форме  ее матрицу А, и . Это действительно отображение, т.к. матрица  - единственная. И такое отображение является инъективным. Пусть  и  - две билинейные формы,  , . Предположим, что , тогда , и следовательно  (т.к. ).

Пусть А – произвольная квадратная матрица n-ого порядка над полем К. . Положим по определению,   ,  и докажем, что эта формула дает билинейную форму, т.е. сделаем проверку свойств линейности. Линейные свойства выполняются, следовательно,  -  билинейная форма, а матрица А есть матрица этой билинейной формы. Теорема доказана.

Пример. . Пусть , . Тогда