Ранг матрицы

Пятница, 10 января 2014 г.
Рубрика: Теорема о ранге матрицы
Просмотров: 4371
Подписаться на комментарии по RSS

п.4. Ранг матрицы.

Пусть А – произвольная матрица размеров  над полем К и пусть натуральное число k такое, что оно не превосходит ни числа строк матрицы А, ни числа ее столбцов, т.е. .

Определение. Минором – го порядка матрицы А называют определитель матрицы – го порядка, которая получается из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме отмеченных произвольным образом   строк и столбцов.

Пример. . Отметим 1-й и 4-й столбцы и первые две строки, а остальные (2-й и 3-й столбец и 3-ю строку) вычеркнем:  – минор второго порядка матрицы А.

Или вычеркнем любой столбец матрицы А, например третий:

 – минор третьего порядка матрицы А.

Ясно, что минором первого порядка является любой ее элемент, а миноров четвертого порядка не существует, миноров третьего порядка существует ровно четыре, а миноров второго порядка ровно 18 штук.

Определение. Рангом ненулевой матрицы называется максимальный порядок ее ненулевого минора.

Обозначение: .

Ранг нулевой матрицы по определению полагают равным нулю.

Замечание. Из определения следует, что ранг ненулевой матрицы есть натуральное число, не превышающее ни числа строк, ни числа столбцов. Так в примере выше ранг матрицы А может быть равен 1 или 2 или 3. Так как минор второго порядка , то ранг матрицы равен 2, если все 4 ее минора третьего порядка равны 0, и равен 3, если среди ее миноров третьего порядка найдется хотя бы один ненулевой.

Пусть А – произвольная матрица размеров  над полем K. Тогда ее строки имеют длину n и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства строк длины n: .

Столбцы матрицы А имеют высоту m и могут рассматриваться как векторы арифметического векторного пространства столбцов высоты m: .

Обозначим  – систему строк матрицы А,  – систему ее столбцов. Тогда  для всех  и  для всех . Эти системы, как и любые системы векторов векторного пространства имеют свой ранг.

Обозначим:

, ,

Теорема. (О ранге матрицы.) Ранг матрицы равен рангу системы ее строк и равен рангу системы ее столбцов.

Иначе, в наших обозначениях: .

Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы:

Лемма 1. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем K. Следующие утверждения равносильны:

1) система строк матрицы А – линейно зависимая;

2) система столбцов матрицы А – линейно зависимая;

3) определитель матрицы А равен нулю.

Доказательство. . Это следует из свойств определителя и уже доказано.

. Пусть . Нам нужно доказать, что система столбцов матрицы А является линейно зависимой.

Допустим противное. Пусть система столбцов  – линейно независимая. Так как А – квадратная матрица, то все ее столбцы имеют высоту n, т.е. являются векторами пространства , размерность которого равна n. Следовательно, система  является базисом пространства .

Пусть канонический базис пространства , т.е.

, , …, .

Найдем матрицу перехода от канонического базиса к базису из столбцов матрицы А. Для этого разложим векторы базиса  по каноническому базису. В матричной форме эти разложения будут иметь вид:

, где С – матрица перехода. Но последнее равенство есть равенство: , где Е – единичная матрица, откуда следует, что . Так как матрица перехода является невырожденной, т.е. , то отсюда следует, что , что противоречит условию . Следовательно, наше предположение о линейной независимости системы столбцов матрицы А является неверным, ч.т.д.

. Из доказанного следует, что система строк матрицы А является линейно зависимой тогда и только тогда, когда , т.к. строки матрицы А являются столбцами транспонированной матрицы . Так как , то все доказано.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть А – квадратная матрица – го порядка над полем К. Следующие утверждения равносильны:

1) система строк матрицы А – линейно независимая;

2) система столбцов матрицы А – линейно независимая;

3) определитель матрицы А не равен нулю.

Лемма 2. Пусть  – подпространство пространства V над полем K и . Тогда существует ненулевая линейная форма , такая, что , т.е. , .

Доказательство. Пусть  – базис подпространства L. Дополним его до базиса пространства V: . Определим на V линейную форму  с помощью равенства

, .

Как мы уже видели выше, это отображение есть линейная форма, причем ненулевая, т.е., например,

.

Пусть  – произвольный вектор подпространства L. Разложим его по базису V:

, откуда следует, что , ч.т.д.

Лемма доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!