Необходимые и достаточные условия определенности неоднородной системы линейных уравнений, квадратной системы линейных уравнений
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 11355
Подписаться на комментарии по RSS
п.7. Линейные (векторные) многообразия.
Пусть – произвольное подпространства пространства
и пусть
– произвольный фиксированный вектор пространства
(вообще говоря,
, хотя это и не обязательно). Множество векторов вида
, где
обозначим через
, т.е.
.
Легко видеть, что если , то
, а если
, то
. Более того, в этом случае множество
не является векторным подпространством (т.к. не содержит нулевого вектора).
Определение. Множество при
называется линейным (векторным) многообразием, параллельным подпространству
.
Пример. Пространство столбцов высоты 2 с действительными элементами: можно интерпретировать как пространство радиус-векторов точек координатной плоскости, т.е. векторов, начало которых находится в начале координат, а конец в соответствующей точке плоскости.
Если же точку плоскости и ее радиус-вектор отождествить, то под словом вектор можно понимать точку плоскости.
Тогда любое одномерное подпространство можно интерпретировать как точки прямой, проходящей через начало координат.
Тогда для любого вектора , множество
есть множество точек прямой, параллельной прямой
и проходящей через точку с координатами
. Т.е. геометрически (в данном случае) линейное многообразие
представляет собой прямую, полученной из прямой
параллельным переносом на вектор
.
рис.1
Замечание. Используя понятие линейного многообразия, можно сказать, что множество всех решений неоднородной системы линейных уравнений представляет собой линейное многообразие в пространстве столбцов соответствующей высоты, полученное из пространства решений соответствующей однородной системы линейных уравнений сдвигом (параллельным переносом) на вектор, являющимся частным решением данной системы: .
п.8. Необходимые и достаточные условия определенности неоднородной системы линейных уравнений.
Теорема. Неоднородная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда она является совместной и ранг матрицы этой системы равен числу ее неизвестных.
Иначе, для того, чтобы система была определенной необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:
,
где – число неизвестных системы.
Доказательство. Система определена тогда и только тогда, когда она имеет единственное решение, т.е. она совместна и по теореме Кронекера-Капелли
. С другой стороны, система имеет единственное решение:
, ч.т.д.
Теорема доказана.
п.9. Необходимые и достаточные условия определенности квадратной системы линейных уравнений.
Теорема. Пусть дана система, в которой число неизвестных равно числу ее уравнений. Для того, чтобы такая система была определенной необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю.
Другими словами, если матрица А системы является квадратной, то такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Пусть система определена, тогда по предыдущей теореме . Но матрица А квадратная n-го порядка, следовательно базисный минор матрицы А совпадает с ее определителем и потому
.
Обратно, пусть , тогда
есть минор наибольшего порядка отличный от нуля, т.е.
. С другой стороны,
есть базисный минор и для расширенной матрицы
, т.е.
. Следовательно, система является определенной, ч.т.д.
Еще записи по теме
- Классификация систем линейных уравнений, способы записи системы линейных уравнений
- Теорема Кронекер – Капелли. Необходимые и достаточные условия совместности системы линейных уравнений.
- Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса
- Пространство решений однородной системы линейных уравнений
- Основные определения систем линейных уравнений
- Структура множества решений совместной неоднородной системы линейных уравнений
Оставьте комментарий!