п.7. Линейные (векторные) многообразия.

Пусть – произвольное подпространства пространства  и пусть – произвольный фиксированный вектор пространства  (вообще говоря, , хотя это и не обязательно). Множество векторов вида , где  обозначим через , т.е. .

Легко видеть, что если , то , а если , то . Более того, в этом случае множество  не является векторным подпространством (т.к. не содержит нулевого вектора).

Определение. Множество  при  называется линейным (векторным) многообразием, параллельным подпространству .

Пример. Пространство столбцов высоты 2 с действительными элементами:  можно интерпретировать как пространство радиус-векторов точек координатной плоскости, т.е. векторов, начало которых находится в начале координат, а конец в соответствующей точке плоскости.

Если же точку плоскости и ее радиус-вектор отождествить, то под словом вектор можно понимать точку плоскости.

Тогда любое одномерное подпространство  можно интерпретировать как точки прямой, проходящей через начало координат.

Тогда для любого вектора , множество  есть множество точек прямой, параллельной прямой  и проходящей через точку с координатами . Т.е. геометрически (в данном случае) линейное многообразие  представляет собой прямую, полученной из прямой  параллельным переносом на вектор .

рис.1

Замечание. Используя понятие линейного многообразия, можно сказать, что множество всех решений неоднородной системы линейных уравнений представляет собой линейное многообразие в пространстве столбцов соответствующей высоты, полученное из пространства решений соответствующей однородной системы линейных уравнений сдвигом (параллельным переносом) на вектор, являющимся частным решением данной системы: .

п.8. Необходимые и достаточные условия определенности неоднородной системы линейных уравнений.

Теорема. Неоднородная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда она является совместной и ранг матрицы этой системы равен числу ее неизвестных.

Иначе, для того, чтобы система  была определенной необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

,

где  – число неизвестных системы.

Доказательство. Система  определена тогда и только тогда, когда она имеет единственное решение, т.е. она совместна и по теореме Кронекера-Капелли . С другой стороны, система имеет единственное решение:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

п.9. Необходимые и достаточные условия определенности квадратной системы линейных уравнений.

Теорема. Пусть дана система, в которой число неизвестных равно числу ее уравнений. Для того, чтобы такая система была определенной необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю.

Другими словами, если матрица А системы  является квадратной, то такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

.

Доказательство. Пусть система определена, тогда по предыдущей теореме . Но матрица А квадратная n-го порядка, следовательно базисный минор матрицы А совпадает с ее определителем и потому .

Обратно, пусть , тогда  есть минор наибольшего порядка отличный от нуля, т.е. . С другой стороны,  есть базисный минор и для расширенной матрицы , т.е. . Следовательно, система является определенной, ч.т.д.