Неравенство Коши – Буняковского

Вторник, 7 января 2014 г.
Рубрика: Эвклидово пространство
Просмотров: 15912
Подписаться на комментарии по RSS

Определение. Скалярным произведением в вещественном векторном пространстве называется любая вещественная симметрическая положительно определенная билинейная форма.

Определение. Вещественное векторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пусть V – вещественное векторное пространство:VR

(x, y) (x, y) = x*y

Пусть  {e, …, e} произвольный базис пространства V;  X=, Y= - столбцы координат векторов х, у относительно базиса

{e}

(x, y)==X, где

()=(,e))=(e), ();

Г – матрица Грама

() - общий вид скалярного произведения.

 - нормальный вид квадратичной формы, где {0,1}

Если квадратичная форма положительно определена, тогда нормальный вид квадратичной формы:

Е=- матрица положительно определенной квадратичной формы нормального вида

Пусть С - невырожденная матрица

Теорема. В евклидовом пространстве существует базис, относительно которого матрица Грама является единичной

П. 1. неравенство Коши – Буняковского.

Определение. Модулем (длиной, нормой) вектора х  называется число: ,      где  - скалярный квадрат вектора x.

Теорема(Неравенство Коши – Буняковского)

Модуль скалярного произведения меньше     либо равен произведению модулей:

.

Доказательство. Пусть  - произвольная вещественная переменная. Пусть  ; +; D=4()()

. Теорема доказана.

Следствие (неравенство треугольника):

.

Доказательство.

(=. Извлекая квадратный корень, получаем: . Следствие              доказано.

Определение. Пусть  Углом между векторами x и y называется число, равное

arccos  , и обозначается:

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть

Определение. Базис евклидова пространства

 называется ортогональным, если

 , ,  

(векторы базиса попарно ортогональны).

Определение. Базис  евклидова пространства  называется ортонормированным, если он ортогональный и модуль всех базисных векторов равен 1.

Определение. Система из попарно ортогональных ненулевых векторов называется ортогональной системой векторов.

Лемма. Любая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов, то есть

 .

Пусть -линейно зависимая система  существует нетривиальная линейная комбинация (1)

 и пусть .

Умножим равенство (1) скалярно на вектор : ; , ,

 противоречие  - линейно независимая система. Лемма доказана.

Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство (процесс ортогонализации).

Пусть - базис евклидова пространства , пусть , ;

,

 так как

 .

Пусть построена ортогональная система векторов .

;

,  ;

Через n шагов мы получим ортогональный базис .

;

 получаем ортонормированный базис. Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!