Определение векторного пространства и его простейшие свойства
Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве
определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве
определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:
;
Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется векторным пространством над полем К, если выполняются следующие аксиомы:
1. Сложение ассоциативно, т.е.
.
2. Существует нулевой вектор, т.е.
.
3. Для любого вектора существует противоположный ему:
.
Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х, так что
.
4. Сложение коммутативно, т.е. .
5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.
,
где произведение есть произведение скаляров, определенное в поле К.
6. , где 1 - это единица поля К.
7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:
.
8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров: .
Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел
называется вещественным векторным пространством.
Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)
1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.
3. или
.
4. .
Доказательство. 1) Единственность нулевого вектора доказывается также, как единственность единичной матриц и, вообще, как единственность нейтрального элемента любой внутренней бинарной алгебраической операции.
Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть
– еще один нулевой вектор. Тогда
. Возьмем в первом случае
, а во втором –
. Тогда
и
, откуда следует, что
, ч.т.д.
2а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.
Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:
.
Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует
.
2б) Теперь докажем утверждение 4). Пусть – произвольный вектор. Тогда
.
Отсюда сразу же следует, что вектор является противоположным вектору х.
2в) Пусть теперь . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства,
и
получаем:
.
2г) Пусть и допустим, что
. Так как
, где К – поле, то существует
. Умножим равенство
слева на
:
, откуда следует
или
или
.
Теорема доказана.