п.1. Определение векторного подпространства.

Определение. Любое непустое подмножество L векторного пространства V над полем K, которое само является векторным пространством над тем же самым полем K и относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр, что и в векторном пространстве V, называется векторным подпространством векторного пространства V.

Теорема. Пусть V – векторное пространство над полем K и - его непустое подмножество. Для того, чтобы подмножество L было векторным подпространством векторного пространства V необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

1. ,

2.  и , .

Первое условие теоремы называется замкнутостью подмножества L относительно сложения, а второе – замкнутостью подмножества L относительно умножения на скаляр.

Иначе данную теорему можно сформулировать так:

Для того, чтобы подмножество L было векторным подпространством векторного пространства V необходимо и достаточно, чтобы подмножество L было замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

Доказательство. Если подмножество L само является векторным пространством, то оба условия теоремы очевидно выполняются в силу определения векторного пространства. Пусть выполняются условия теоремы. Докажем, что L является векторным пространством.

Из условий теоремы следует, что на множестве L определена операция сложения и умножения на скаляр. Нам осталось только проверить выполнение всех аксиом векторного пространства.

1)  Пусть  – произвольные векторы множества L. Так как , то , а так как V – векторное пространство, то в нем выполняется аксиома ассоциативности сложения:

.                                 (1)

С другой стороны, так как , то в силу условий теоремы, , откуда, в силу тех же условий,  и, аналогично, . Таким образом, равенство (1) справедливо , т.е. в L выполняется закон ассоциативности сложения векторов, ч.т.д.

Абсолютно аналогично доказывается, что в множестве L выполняются законы коммутативности сложения, ассоциативности умножения вектора на скаляр и оба закона дистрибутивности. Также, в силу замкнутости умножения на скаляр, выполняется аксиома умножения вектора на единицу поля K:

.

Таким образом, осталось доказать, что в множестве L содержится нулевой вектор пространства V и, что вместе с любым вектором множества L оно содержит противоположный ему вектор.

2) Пусть  – произвольный вектор и  – нулевой скаляр поля K. Так как , то . Из простейших свойств векторного пространства следует, что  – нулевой вектор векторного пространства V. С другой стороны, в силу условия замкнутости множества L относительно умножения на скаляр, , ч.т.д.

3) Пусть – произвольный вектор. Так как , то . Из простейших свойств векторного пространства следует, что  – противоположный вектор.

С другой стороны, в силу условия замкнутости множества L относительно умножения на скаляр, , ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Пусть , где L – векторное подпространство. Тогда ,

.

Доказательство следует из того, что векторное подпространство само является векторным пространством.

Заметим, что если нулевой вектор не принадлежит подмножеству , то  не является векторным подпространством.