Определение определителя – го порядка.

Пусть дана квадратная матрица – го порядка:

.

Определение. Произведение  элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.

Обозначение: .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс , он в свою очередь имеет нижний индекс , обозначает номер столбца, из которой взят элемент и набор вторых индексов образует перестановку   множества .

Т.к. число всех перестановок множества  равно , то существует ровно  членов определителя.

Каждый член определителя снабдим знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности перестановки вторых индексов. Это можно сделать с помощью множителя , который равен 1, если перестановка  четная и тогда число инверсий  есть четное число и равен  – 1, если перестановка  нечетная и тогда число инверсий  есть нечетное число.

Определение. Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

,                (1)

где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Пример. Вычислим определитель 3 – го порядка:

.

Выпишем все члены определителя, их ровно 6 штук. Для этого, выпишем сначала все перестановки множества из 3 элементов:

, , , , ,  и определим их четность:

, , , , , .

Теперь выписываем члены определителя, причем первые индексы (номера строк) образуют начальную перестановку, а вторые индексы (номера столбцов) образуют перестановку, одну из 6 приведенных выше.

, , , , , .

Теперь мы можем записать определитель, как

алгебраическую сумму всех членов определителей, взятых со знаком плюс, если вторые индексы сомножителей, входящих в член определителя, образуют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае:

.

Замечание. Формула (1) определяет отображение из множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем K в полеK. Это отображение называется определителем или детерминантом и обозначается

.