Ортогональное дополнение к подпространству. Самосопряженные линейные операторы

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Эвклидово пространство
Просмотров: 6927
Подписаться на комментарии по RSS

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству  называется множество                 

Упражнение. Докажите, что  является подпространством евклидова пространства.

Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,  - его ортогональное дополнение. Тогда евклидово  пространство  можно представить в виде ортогональной суммы:

Доказательство.  – евклидово подпространство, а следовательно евклидово пространство. Любое евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. Тогда  , где  – ортонормированный базис. Дополним до ортонормированного базиса всего пространства   – ортонормированный базис .

Докажем, что . Для этого нужно показать, что

1)     

2)      .

1)Пусть вектор  принадлежит ортогональному дополнению: . Тогда вектор  можно представить в виде: .

Так как , , то для любых :  , а . Отсюда следует, что .

Получаем, что .

А следовательно , т.е. любой вектор принадлежащий подпространству , также принадлежит линейной оболочке

2)Пусть вектор , тогда его можно представить в виде:

Пусть вектор , запишем  его в виде:

Тогда скалярное произведение . Откуда получаем, что вектор .

Теорема доказана.

Свойства ортогональных дополнений

1)     

2)     

3)      Если , то

Линейные операторы евклидова пространства

п. 1. Самосопряженные линейные операторы.

Определение. Пусть  - евклидово пространство и задан отображение . Тогда  называется самосопряженным линейным оператором, если   

Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса является симметрической.

Доказательство. Пусть  – ортонормированный базис.  - произвольные векторы, а X,Y – столбцы координат соответственно.

AX – столбец координат вектора  .

AY – столбец координат вектора .                                  

Если  - самосопряженный линейный оператор, то по определению

Это равносильно тому, что

Теорема доказана.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!