Определение. Ортогональным дополнением к подпространству  называется множество                 

Упражнение. Докажите, что  является подпространством евклидова пространства.

Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,  - его ортогональное дополнение. Тогда евклидово  пространство  можно представить в виде ортогональной суммы:

Доказательство.  – евклидово подпространство, а следовательно евклидово пространство. Любое евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. Тогда  , где  – ортонормированный базис. Дополним до ортонормированного базиса всего пространства   – ортонормированный базис .

Докажем, что . Для этого нужно показать, что

1)     

2)      .

1)Пусть вектор  принадлежит ортогональному дополнению: . Тогда вектор  можно представить в виде: .

Так как , , то для любых :  , а . Отсюда следует, что .

Получаем, что .

А следовательно , т.е. любой вектор принадлежащий подпространству , также принадлежит линейной оболочке

2)Пусть вектор , тогда его можно представить в виде:

Пусть вектор , запишем  его в виде:

Тогда скалярное произведение . Откуда получаем, что вектор .

Теорема доказана.

Свойства ортогональных дополнений

1)     

2)     

3)      Если , то

Линейные операторы евклидова пространства

п. 1. Самосопряженные линейные операторы.

Определение. Пусть  - евклидово пространство и задан отображение . Тогда  называется самосопряженным линейным оператором, если   

Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса является симметрической.

Доказательство. Пусть  – ортонормированный базис.  - произвольные векторы, а X,Y – столбцы координат соответственно.

AX – столбец координат вектора  .

AY – столбец координат вектора .                                  

Если  - самосопряженный линейный оператор, то по определению

Это равносильно тому, что

Теорема доказана.