Ортогональное дополнение к подпространству. Самосопряженные линейные операторы
Рубрика: Эвклидово пространство
Просмотров: 11580
Подписаться на комментарии по RSS
Определение. Ортогональным дополнением к подпространству называется множество
Упражнение. Докажите, что является подпространством евклидова пространства.
Теорема. Пусть дано евклидово подпространство ,
- его ортогональное дополнение. Тогда евклидово пространство
можно представить в виде ортогональной суммы:
Доказательство. – евклидово подпространство, а следовательно евклидово пространство. Любое евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. Тогда
, где
– ортонормированный базис. Дополним до ортонормированного базиса всего пространства
– ортонормированный базис
.
Докажем, что . Для этого нужно показать, что
1)
2) .
1)Пусть вектор принадлежит ортогональному дополнению:
. Тогда вектор
можно представить в виде:
.
Так как ,
, то для любых
:
, а
. Отсюда следует, что
.
Получаем, что .
А следовательно , т.е. любой вектор принадлежащий подпространству
, также принадлежит линейной оболочке
2)Пусть вектор , тогда его можно представить в виде:
Пусть вектор , запишем его в виде:
Тогда скалярное произведение . Откуда получаем, что вектор
.
Теорема доказана.
Свойства ортогональных дополнений
1)
2)
3) Если , то
Линейные операторы евклидова пространства
п. 1. Самосопряженные линейные операторы.
Определение. Пусть - евклидово пространство и задан отображение
. Тогда
называется самосопряженным линейным оператором, если
Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора относительно ортонормированного базиса является симметрической.
Доказательство. Пусть – ортонормированный базис.
- произвольные векторы, а X,Y – столбцы координат соответственно.
AX – столбец координат вектора
.
AY – столбец координат вектора
.
Если - самосопряженный линейный оператор, то по определению
Это равносильно тому, что
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!