п.1. Основные определения.

Определение. Уравнение вида

,                           (1)

где – действительные числа,  – переменные (неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.

Определение. Числа  в уравнении (1) называются коэффициентами линейного уравнения, число  в уравнении (1) называется свободным членом линейного уравнения.

Определение. Уравнение вида

называется однородным линейным уравнением с n неизвестными.

Пусть дана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

                         (2)

Здесь, по вполне понятным причинам, коэффициенты линейных уравнений снабжены нижними двойными индексами. Они образуют матрицу

.                            (3)

Определение. Матрица А, элементами которой являются соответствующие коэффициенты линейных уравнений системы называется матрицей этой системы.

Определение. Столбец  называется столбцом свободных членов системы (2).

Определение 4. Матрица

называется расширенной матрицей системы (2) и обозначается .

Определение. Столбец  называется столбцом неизвестных системы (2).

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если каждое уравнение системы является однородным.

Другими словами, систему линейных уравнений называют однородной, если столбец свободных членов системы является нулевым.

Замечание. Уравнение (1) можно рассматривать как частный случай системы (2) при  и тоже можно называть системой линейных уравнений, состоящей из одного уравнения и n неизвестных.

Определение. Решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор из n чисел, которые будучи подставлены в систему, обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Обозначение:  или . В первом случае говорят о строке решений, во втором – о столбце решений.