Подпространства евклидова пространства

Вторник, 14 января 2014 г.
Рубрика: Эвклидово пространство
Просмотров: 3009
Подписаться на комментарии по RSS

Теорема. Следующие утверждения равносильны:

1)Система строк матрицы А является ортонормированной;

2)Система столбцов матрицы А является ортонормированной;

3)А-1=Аt

Доказательство.

Докажем равносильность 1-ого и 3-его утверждений.

Пусть {S1,…,Sn} – система строк матрицы А. Тогда {S1t,…,Snt} – система столбцов матрицы Аt.

Скалярное произведение SiSj равно произведению  строки на столбец:

SiSj = SiSj =  (т.к. строки ортонормированны).

Это равносильно тому, что произведение матрицы на транспонированную есть единичная матрица:

ААt =   Аt = А-1.

Теорема доказана.

Подпространства евклидова пространства.

Определение. Любое векторное подпространство евклидова пространства называется евклидовым подпространством.

Теорема. Любое евклидово подпространство само является евклидовым пространством.

Лемма. Любой ортогональный(ортонормированный) базис евклидова подпространства можно дополнить до ортогонального(ортонормированного)базиса всего пространства.

Доказательство. Пусть есть ортогональный базис евклидова подпространства.

1) Дополняем его до базиса всего пространства;

2) Проводим процесс ортогонализации;

Теорема доказана.

Ортогональное дополнение.

Пусть дано произвольное евклидово подпространство    .

По определению

Векор назывется ортогоналным подпространству, если скалярное произведение вектора на любой вектор, принадлежащий подпространству равно нулю:  .

Примером подпространства  может служить плоскость в трехмерном пространстве.

Тогда вектор  ортогонален плоскости , если он ортогонален любому вектору данной плоскости.

                    

                              

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!