Подсистемы системы векторов векторного пространства

Понедельник, 2 ноября 2009 г.
Рубрика: Базис векторного пространства
Просмотров: 9225

Определение. Любое непустое подмножество системы векторов  называется подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть  – система из 10 векторов. Тогда системы векторов: ; ,  – подсистемы данной системы векторов.

Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов  и пусть для определенности подсистема , где  является линейно зависимой. Тогда она представляет нулевой вектор нетривиально:

,

где среди коэффициентов  есть хотя бы один не равный нулю. Но тогда следующее равенство есть нетривиальное представление нулевого вектора:

,

откуда, по определению, следует линейная зависимость системы , ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Доказательство. Допустим противное. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы является линейно зависимой. Тогда из теоремы следует линейная зависимость данной системы, что противоречит условию.

Следствие доказано.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us