Определение. Любое непустое подмножество системы векторов  называется подсистемой данной системы векторов.

Пример. Пусть  – система из 10 векторов. Тогда системы векторов: ; ,  – подсистемы данной системы векторов.

Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов  и пусть для определенности подсистема , где  является линейно зависимой. Тогда она представляет нулевой вектор нетривиально:

,

где среди коэффициентов  есть хотя бы один не равный нулю. Но тогда следующее равенство есть нетривиальное представление нулевого вектора:

,

откуда, по определению, следует линейная зависимость системы , ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Доказательство. Допустим противное. Пусть какая-нибудь подсистема данной системы является линейно зависимой. Тогда из теоремы следует линейная зависимость данной системы, что противоречит условию.

Следствие доказано.