п.2. Примеры линейных отображений.

Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение

с помощью правила:  положим .

Это отображение называется нулевым отображением.

Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.

Пример 2. Зададим отображение

с помощью  правила:  положим .

Это отображение называется тождественным отображением (тождественным оператором) векторного пространства V в себя.

Легко проверить, что тождественное отображение векторного пространства V в себя является линейным.

Действительно,  ,

.

Отсюда,  и .

Тождественный оператор называется также тождественным или единичным эндоморфизмом и часто обозначается буквой Е.

Пример 3. Пусть А – матрица размера  над полем K,  и  – арифметические векторные пространства столбцов высоты   и  соответственно над полем K. Устроим отображение

с помощью правила:  положим .

Проверим, что данное отображение является линейным. Пусть . Тогда

.

Здесь мы воспользовались свойствами действий с матрицами, а именно законом дистрибутивности умножения матриц относительно их сложения.

Далее, ,

.

Таким образом, умножение матрицы на столбец соответствующей высоты обладает свойствами аддитивности и однородности и, следовательно, является линейным отображением (линейным оператором, если ).

Пример 4. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем K размерности n и  –пространство столбцов высоты n. Зафиксируем в пространстве V какой-нибудь базис. Отображение

,

которое каждому вектору  ставит в соответствие упорядоченный набор

его координат относительно данного базиса является биективным линейным отображением или изоморфизмом векторных пространств. (См. лекцию 24.)

Гомоморфизм  называется естественным или каноническим гомоморфизмом.

Пример 5. Пусть – множество векторов на плоскости, как направленных отрезков. Устроим отображение

по правилу:

каждому вектору  поставим в соответствие вектор , который получается из вектора  поворотом вокруг своего начала на угол  против часовой стрелки.

В наших обозначениях:

.

Легко видеть, что это отображение является линейным: , ,

 и .

(Чтобы увидеть это, сложите два вектора по правилу параллелограмма и поверните полученный параллелограмм на заданный угол против часовой стрелки. Аналогично проверяется свойство однородности.)

Таким образом, данное отображение является линейным оператором, который называют оператором поворота на заданный угол в пространстве векторов на плоскости.