Примеры линейных отображений
Рубрика: Линейные отображения
Просмотров: 5019
Подписаться на комментарии по RSS
п.2. Примеры линейных отображений.
Пример 1. Пусть V и W – произвольные векторные пространства над полем K. Зададим отображение
с помощью правила: положим
.
Это отображение называется нулевым отображением.
Очевидно, что нулевое отображение векторного пространства V в векторное пространство W является линейным, поэтому оно называется нулевым гомоморфизмом.
Пример 2. Зададим отображение
с помощью правила: положим
.
Это отображение называется тождественным отображением (тождественным оператором) векторного пространства V в себя.
Легко проверить, что тождественное отображение векторного пространства V в себя является линейным.
Действительно, ,
.
Отсюда, и
.
Тождественный оператор называется также тождественным или единичным эндоморфизмом и часто обозначается буквой Е.
Пример 3. Пусть А – матрица размера над полем K,
и
– арифметические векторные пространства столбцов высоты
и
соответственно над полем K. Устроим отображение
с помощью правила: положим
.
Проверим, что данное отображение является линейным. Пусть . Тогда
.
Здесь мы воспользовались свойствами действий с матрицами, а именно законом дистрибутивности умножения матриц относительно их сложения.
Далее, ,
.
Таким образом, умножение матрицы на столбец соответствующей высоты обладает свойствами аддитивности и однородности и, следовательно, является линейным отображением (линейным оператором, если ).
Пример 4. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем K размерности n и –пространство столбцов высоты n. Зафиксируем в пространстве V какой-нибудь базис. Отображение
,
которое каждому вектору ставит в соответствие упорядоченный набор
его координат относительно данного базиса является биективным линейным отображением или изоморфизмом векторных пространств. (См. лекцию 24.)
Гомоморфизм называется естественным или каноническим гомоморфизмом.
Пример 5. Пусть – множество векторов на плоскости, как направленных отрезков. Устроим отображение
по правилу:
каждому вектору поставим в соответствие вектор
, который получается из вектора
поворотом вокруг своего начала на угол
против часовой стрелки.
В наших обозначениях:
.
Легко видеть, что это отображение является линейным: ,
,
и
.
(Чтобы увидеть это, сложите два вектора по правилу параллелограмма и поверните полученный параллелограмм на заданный угол против часовой стрелки. Аналогично проверяется свойство однородности.)
Таким образом, данное отображение является линейным оператором, который называют оператором поворота на заданный угол в пространстве векторов на плоскости.
Оставьте комментарий!