п.2. Примеры векторных подпространств. Линейная оболочка системы векторов.

Пример 1. Пусть - векторное пространство. Тогда  тоже является векторным подпространством.

Пример 2. Пусть - векторное пространство. Тогда  - множество, состоящее из одного нулевого вектора есть векторное подпространство. Оно называется нулевым подпространством.

Пример 3. Пусть  - арифметическое векторное пространство столбцов высоты . Обозначим через

– множество столбцов высоты n и с нулевой последней компонентой. Легко проверяется, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и относительно умножения столбца на скаляр.

Пример 4. Пусть  – вещественное точечно-векторное пространство векторов как направленных отрезков. (Напомним, что вектор этого пространства мы рассматриваем как радиус-вектор точки этого пространства.) и пусть  – множество всех векторов коллинеарных какой-либо плоскости, проходящей через начало координат. Тогда  – векторное подпространство пространства . (Мы отождествляем  с этой плоскостью.)

Аналогично, если  – множество всех векторов коллинеарных какой-либо прямой, проходящей через начало координат и лежащей в плоскости , то  есть векторное подпространство .  Таким образом,  – цепочка подпространств.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с коэффициентами из поля K является векторным подпространством арифметического векторного пространства столбцов высоты n.

Доказательство. Пусть А матрица размера  с элементами из поля K, Х – столбец неизвестных высоты n. Тогда  – матричная форма записи однородной системы линейных уравнений. Однородная система является совместной, так как всегда имеет нулевое решение. Обозначим через S множество всех решений этой однородной системы линейных уравнений:

.

Из определения S следует, что .

Пусть , тогда ,  и , т.е. .

Аналогично, пусть , тогда,  и

, т.е. .

Таким образом, множество S замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр и, следовательно, является векторным подпространством пространства .

Теорема доказана.

Определение. Множество всех линейных комбинаций системы векторов  называется линейной оболочкой, натянутой на эту систему векторов.

Обозначение.

.

Теорема. Пусть  – произвольная система векторов векторного пространства V. Тогда линейная оболочка  есть векторное подпространство пространства V.

Доказательство. Из определения линейной оболочки следует, что , поэтому достаточно доказать, что линейная оболочка обладает свойствами замкнутости относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, что, в свою очередь, является вполне очевидным фактом, доказательство которого предоставляется читателю.

Замечание. Из определения линейной оболочки и определения базиса векторного пространства сразу же следует, что любое векторное пространство есть линейная оболочка системы базисных векторов, а так как любое векторное подпространство, по определению, само является векторным пространством, то и любое векторное подпространство есть линейная оболочка некоторой системы векторов данного подпространства.

Другими словами, если V – векторное пространство и  – его базис, то .

Теорема. (Свойство линейной оболочки.)

ПустьV – векторное пространство над полем K и  – произвольная система векторов из V. Тогда, линейная оболочка  является наименьшим

(относительно включения) векторным подпространством, содержащим данную систему векторов.

Доказательство. Пусть М – произвольное векторное подпространство, содержащее систему векторов , т.е. . Тогда подпространство М

содержит любую линейную комбинацию данной системы векторов, т.е. содержит любой вектор подпространства L и , ч.т.д.

Теорема доказана.