Примеры векторных подпространств
Рубрика: Векторные подпространства
Просмотров: 9815
Подписаться на комментарии по RSS
п.2. Примеры векторных подпространств. Линейная оболочка системы векторов.
Пример 1. Пусть - векторное пространство. Тогда
тоже является векторным подпространством.
Пример 2. Пусть - векторное пространство. Тогда
- множество, состоящее из одного нулевого вектора есть векторное подпространство. Оно называется нулевым подпространством.
Пример 3. Пусть - арифметическое векторное пространство столбцов высоты
. Обозначим через
– множество столбцов высоты n и с нулевой последней компонентой. Легко проверяется, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и относительно умножения столбца на скаляр.
Пример 4. Пусть – вещественное точечно-векторное пространство векторов как направленных отрезков. (Напомним, что вектор этого пространства мы рассматриваем как радиус-вектор точки этого пространства.) и пусть
– множество всех векторов коллинеарных какой-либо плоскости, проходящей через начало координат. Тогда
– векторное подпространство пространства
. (Мы отождествляем
с этой плоскостью.)
Аналогично, если – множество всех векторов коллинеарных какой-либо прямой, проходящей через начало координат и лежащей в плоскости
, то
есть векторное подпространство
. Таким образом,
– цепочка подпространств.
Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и с коэффициентами из поля K является векторным подпространством арифметического векторного пространства столбцов высоты n.
Доказательство. Пусть А матрица размера с элементами из поля K, Х – столбец неизвестных высоты n. Тогда
– матричная форма записи однородной системы линейных уравнений. Однородная система является совместной, так как всегда имеет нулевое решение. Обозначим через S множество всех решений этой однородной системы линейных уравнений:
.
Из определения S следует, что .
Пусть , тогда
,
и
, т.е.
.
Аналогично, пусть , тогда,
и
, т.е.
.
Таким образом, множество S замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр и, следовательно, является векторным подпространством пространства .
Теорема доказана.
Определение. Множество всех линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой, натянутой на эту систему векторов.
Обозначение.
.
Теорема. Пусть – произвольная система векторов векторного пространства V. Тогда линейная оболочка
есть векторное подпространство пространства V.
Доказательство. Из определения линейной оболочки следует, что , поэтому достаточно доказать, что линейная оболочка обладает свойствами замкнутости относительно сложения векторов и умножения вектора на скаляр, что, в свою очередь, является вполне очевидным фактом, доказательство которого предоставляется читателю.
Замечание. Из определения линейной оболочки и определения базиса векторного пространства сразу же следует, что любое векторное пространство есть линейная оболочка системы базисных векторов, а так как любое векторное подпространство, по определению, само является векторным пространством, то и любое векторное подпространство есть линейная оболочка некоторой системы векторов данного подпространства.
Другими словами, если V – векторное пространство и – его базис, то
.
Теорема. (Свойство линейной оболочки.)
ПустьV – векторное пространство над полем K и – произвольная система векторов из V. Тогда, линейная оболочка
является наименьшим
(относительно включения) векторным подпространством, содержащим данную систему векторов.
Доказательство. Пусть М – произвольное векторное подпространство, содержащее систему векторов , т.е.
. Тогда подпространство М
содержит любую линейную комбинацию данной системы векторов, т.е. содержит любой вектор подпространства L и , ч.т.д.
Теорема доказана.
Оставьте комментарий!