п.5. Прямая сумма векторных подпространств.

Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Сумма подпространств  называется прямой суммой, если , существует только одна пара векторов , такая, что .

Обозначение: .

Замечание. Если , то говорят, что векторное пространство  разлагается в прямую сумму подпространств и М.

Теорема. (О трех равносильных определениях прямой суммы). Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Тогда следующие утверждения равносильны:

1. .

2. Объединение базисов подпространств и М является базисом векторного подпространства S.

3. а) ;  б) .

Доказательство. . Пусть ,  – базис подпространства L,  – базис подпространства М,  – произвольный вектор. Из определения прямой суммы следует, что существует единственная пара векторов (х, у), , , такая, что . Разложим векторы х и у по базисам подпространств L и М соответственно:

, .

Векторы раскладываются по базису однозначно, т.е. вектор z представим в виде линейной комбинации системы векторов  единственным способом: ,

откуда следует, что система  является базисом прямой суммы, ч.т.д.

. Пусть  – базис подпространства L,  – базис подпространства М, а их объединение  – базис их прямой суммы . Из определения базиса следует, что , существует единственный набор скаляров , для которого . Обозначим через , . Тогда , где , , что означает, что .

Пусть далее, . Тогда,  и . Следовательно, вектор z можно разложить как по базису подпространства L, так и по базису подпространства М:

. Отсюда,

.

По условию, система  линейно независимая, следовательно, все коэффициенты должны быть равны нулю: .

Отсюда следует, что и , ч.т.д.

. Пусть  и . Нам осталось доказать, что . Пусть какой-нибудь вектор z из S двумя способами представлен в виде суммы вектора из подпространства L и вектора из подпространства М:

, где , . Тогда,

, т.е. , , ч.т.д.

Теорема доказана.

Аналогично определяется и обозначается прямая сумма любого конечного количества векторных подпространств.

Определение. Пусть  – подпространства векторного пространства V. Сумма этих подпространств  называется прямой суммой если любой вектор z из S единственным способом представим в виде

, где .

Обозначение. .

Как и выше, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Следующие условия равносильны:

1. .

2. Объединение базисов подпространств  является базисом векторного подпространства S.

3. а) ; б) , , .

Из последней теоремы, сразу же вытекают следующие утверждения.

Следствие 1. Пусть – базис пространства . Тогда .

Следствие 2. Пусть  – подпространства векторного пространства V. Тогда

.

В частности, справедливо утверждение.

Следствие 3. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Тогда

.