Прямая сумма векторных подпространств
Рубрика: Векторные подпространства
Просмотров: 14996
Подписаться на комментарии по RSS
п.5. Прямая сумма векторных подпространств.
Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства
. Сумма подпространств
называется прямой суммой, если
, существует только одна пара векторов
, такая, что
.
Обозначение: .
Замечание. Если , то говорят, что векторное пространство
разлагается в прямую сумму подпространств
и М.
Теорема. (О трех равносильных определениях прямой суммы). Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства
. Тогда следующие утверждения равносильны:
1. .
2. Объединение базисов подпространств и М является базисом векторного подпространства S.
3. а) ; б)
.
Доказательство. . Пусть
,
– базис подпространства L,
– базис подпространства М,
– произвольный вектор. Из определения прямой суммы следует, что существует единственная пара векторов (х, у),
,
, такая, что
. Разложим векторы х и у по базисам подпространств L и М соответственно:
,
.
Векторы раскладываются по базису однозначно, т.е. вектор z представим в виде линейной комбинации системы векторов единственным способом:
,
откуда следует, что система является базисом прямой суммы, ч.т.д.
. Пусть
– базис подпространства L,
– базис подпространства М, а их объединение
– базис их прямой суммы
. Из определения базиса следует, что
, существует единственный набор скаляров
, для которого
. Обозначим через
,
. Тогда
, где
,
, что означает, что
.
Пусть далее, . Тогда,
и
. Следовательно, вектор z можно разложить как по базису подпространства L, так и по базису подпространства М:
. Отсюда,
.
По условию, система линейно независимая, следовательно, все коэффициенты должны быть равны нулю:
.
Отсюда следует, что и , ч.т.д.
. Пусть
и
. Нам осталось доказать, что
. Пусть какой-нибудь вектор z из S двумя способами представлен в виде суммы вектора из подпространства L и вектора из подпространства М:
, где
,
. Тогда,
, т.е.
,
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Аналогично определяется и обозначается прямая сумма любого конечного количества векторных подпространств.
Определение. Пусть – подпространства векторного пространства V. Сумма этих подпространств
называется прямой суммой если любой вектор z из S единственным способом представим в виде
, где
.
Обозначение. .
Как и выше, можно доказать следующую теорему.
Теорема. Следующие условия равносильны:
1. .
2. Объединение базисов подпространств является базисом векторного подпространства S.
3. а) ; б)
,
,
.
Из последней теоремы, сразу же вытекают следующие утверждения.
Следствие 1. Пусть – базис пространства
. Тогда
.
Следствие 2. Пусть – подпространства векторного пространства V. Тогда
.
В частности, справедливо утверждение.
Следствие 3. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства
. Тогда
.
Оставьте комментарий!