Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Пятница, 17 января 2014 г.
Рубрика: Системы линейных уравнений
Просмотров: 16386
Подписаться на комментарии по RSS

п.5. Пространство решений однородной системы линейных уравнений.

Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений  всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение – нулевой столбец неизвестных.

Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений является векторным пространством.

Доказательство. Пусть  – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными. Тогда решением системы является столбец неизвестных X, который мы рассматриваем как вектор из пространства столбцов высоты n: , где K– поле коэффициентов системы.

Таким образом, множество решений системы  есть множество столбцов из пространства столбцов , для которых верно матричное равенство .

Как мы видели ранее, это множество является ядром матрицы А:

.

Мы уже знаем, что ядро матрицы является векторным подпространством пространства столбцов , а следовательно и само является векторным пространством.

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем множество решений однородной системы линейных уравнений  мы будем называть пространством решений этой однородной системы линейных уравнений и обозначать .

Теорема (О размерности пространства решений однородной системы линейных уравнений.)

Пусть  – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными и – пространство ее решений. Тогда

.

Иначе, размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений равна числу неизвестных системы минус ранг ее матрицы.

Обозначим для краткости . Тогда теорема утверждает, что верно равенство:

.

Доказательство. По теореме о ядре и образе линейного отображения (см. лекцию 26, п.4)

,

или в наших обозначениях:  и

,

откуда следует, что

.

В той же лекции 26, п.4. мы установили, что

.

В лекции 27 п.2. было доказано, что размерность линейной оболочки системы векторов равна рангу этой системы, т.е. в наших обозначениях:

.

По теореме о ранге матрицы, ранг системы столбцов матрицы равен рангу этой матрицы:

.

Отсюда следует, что

и , ч.т.д.

Теорема доказана.

Пусть базис пространства . Тогда

линейная оболочка, натянутая на систему базисных векторов пространства .

Напомним, что любое векторное пространство можно записать в виде линейной оболочки, натянутой на систему его базисных векторов.

Определение. Базис  пространства решений  однородной системы линейных уравнений  называется фундаментальной системой ее решений.

Так как любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису, то любое решение однородной системы  можно представить в виде линейной комбинации ее фундаментальной системы решений:

,

где .

Определение. Решение системы , записанное в виде

,

где –  фундаментальная система решений, а  – произвольные постоянные (скаляры из поля ), называется ее общим решением.

Пример. Решить систему: .

Решение. Здесь дана система из одного уравнения с двумя неизвестными  и . Матрица системы имеет вид  и ее ранг .

Тогда размерность пространства решений .

Следовательно, базис пространства решений данной системы (или иначе, фундаментальная система решений) состоит из одного ненулевого решения данной системы:

.

Заметим, что в любом базисе нет нулевого вектора, так что .

В данном случае одно ненулевое решение легко найти подбором, например: , т.е. столбец этого решения: .

Следовательно, множество решений данной системы можно записать в виде линейной оболочки, натянутой на базисный вектор: .

Общее решение данной системы имеет вид:

,

где  с – любое действительное число.

Мы молчаливо предполагали, что полем коэффициентов данной системы является поле действительных чисел.

Ответ: , .

Замечание. Легко выполнить проверку. Подставляя в данную систему , получаем: , т.е. уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного числа с, что и требовалось доказать.

twitter.com facebook.com vkontakte.ru odnoklassniki.ru mail.ru ya.ru rutvit.ru myspace.com technorati.com digg.com friendfeed.com pikabu.ru blogger.com liveinternet.ru livejournal.ru memori.ru google.com bobrdobr.ru mister-wong.ru yahoo.com yandex.ru del.icio.us

Оставьте комментарий!